Apêndice:O Método do Ponto Sela

Seja

$$g(x)=\int_{C}e^{xf(z)}dz$$ (64)

onde $C$ é um contorno aberto com a propriedade de que $Re\left(f(z)\right)$ tenda a $-\infty$ em ambas as suas extremidades. A partir de agora escreveremos o número complexo $f(z)$ assim, decomposto em sua parte real e imaginária:

$$f(z)=f_R(z)+if_I(z)$$ (65)

Consideremos valores positivos e grandes de $x$. Como

$$e^{xf(z)}=e^{xf_R(z)}e^{ixf_I(z)}$$

e $\vert e^{ixf_I(z)}\vert=1$, o módulo do integrando na Eq.(64) é dado por $e^{xf_R(z)}$. Esta função, para um dado $x$, varia de um valor máximo, atingido quando $f_R(z)$ é máximo, até zero, pelo menos nos extremos. Para $x>0$ e muito grande, temos um ``pico'' muito elevado, de onde o valor da integral cai rapidamente para o ``vale'' (região de baixos valores). Além disso, podemos utilizar a possibilidade de deformar o contorno, para fazer com que ele fique ``a maior parte do tempo'' nos vales, subindo ao pico pelo caminho mais íngreme. Desta maneira, apenas uma pequena parte do contorno contribuirá efetivamente para a integral. O método do ponto sela é isto: achar o contorno mais íngreme, passando pelo pico. Note que são os valores muito grandes de $x$ que acentuam essas propriedades extremas. Logo, o método se presta para calcular valores assintóticos. A determinação do caminho mais íngreme passando pelo pico pode ser feita assim: considere as curvas de nível de $f_R(z)$, ou seja, as curvas ao longo das quais $f_R(z)$ é constante. O que procuramos são as curvas que cortem essas curvas de nível ortogonalmente: são estas as que ``sobem mais rapidamente''. Ora, essas curvas são, como se sabe da teoria de funções analíticas de uma variável complexa, as curvas ao longo das quais $f_I(z)$ é constante. Logo, temos de achar a curva dessa família que passa pelo ``pico''. No ``pico'' (que é o ponto sela) temos $\frac{d}{dz}f_R(z)=0$. Vimos agora que, pelo caminho escolhido, $f_I(z)$ é constante, e, portanto, $\frac{d}{dz}f_I(z)=0$. Logo, o ponto sela satisfaz a equação complexa

$$\frac{df(z)}{dz}=0$$ (66)

Seja $z_0$ o ponto em que essa equação é satisfeita (pode haver vários). Expandindo a função em torno desse ponto, temos

$$f(z)=f(z_0)+(z-z_0)\left(\frac{df}{dz}\right)_{z_0}+\frac{(z-z_0)^2}{2!} \left(\frac{d^2f}{dz^2}\right)_{z_0}$$ (67)

mais termos de ordem superior. A derivada primeira é nula, por definição de ponto sela. Logo, temos, para a parte real do integrando,

$$e^{xf(z)}=e^{xf(z_0)}e^{\frac{(z-z_0)^2}{2}\left(\frac{d^2f}{dz^2}\right)_ {z_0}}$$ (68)

com $\left(\frac{d^2f}{dz^2}\right)_{z_0}>0$, ao longo do contorno, por ser um máximo de $f_R(z)$. Logo,

$$\int_{C}e^{xf(z)}dz=e^{xf(z_0)}\int_{C}e^{-\vert\frac{d^2f}{dz^2}\vert _{z_0} \frac{(z-z_0)^2}{2}}dz$$ (69)

que, em geral, por ser a integral de uma gaussiana, pode ser calculada facilmente.