A Relação de Clausius-Mossotti

Henrique Fleming

15 Agosto 2001

Quando um campo elétrico atua sobre um átomo, ou uma molécula, causa um deslocamento das cargas positivas e negativas que rompe o cancelamento exato das cargas. O efeito dominante é a criação de um momento de dipolo elétrico. Este fenômeno é denominado polarização. O efeito combinado da polarização de todos os átomos é responsável pelas propriedades elétricas dos dielétricos, ou isolantes. Seja $\vec{p}$ o momento de dipolo que a presença de um campo elétrico externo $\vec{E}$ cria num átomo. Denomina-se polarizabilidade do átomo a quantidade $\alpha$ definida através da equação

$$\vec{p}=\alpha \vec{E} \;.$$ (1)

Um modelo muito simples para o átomo dá, para a polarizabilidade,

$$\alpha=a^3E$$ (2)

onde $E=\vert\vec{E}\vert$ (Veja o Apêndice), sendo $a$ o raio do átomo. Numa situação real, não temos um átomo isolado sob a ação de um campo elétrico externo. Um átomo de um dielétrico está sob a ação não só do campo externo, mas também sob a ação dos campos dos outros átomos, que, agora polarizados, são capazes de agir uns sobre os outros. Queremos saber que campo age sobre um átomo imerso em um dielétrico polarizado. Como, naturalmente, o campo di próprio átomo não age sobre ele mesmo, o que queremos saber é qual é o valor do campo que existe na posição do átomo em questão. Seja $\vec{P}$ a polarização do dielétrico, que, como se sabe, é o momento de dipolo elétrico por unidade de volume. Temos

$$\vec{D}=\vec{E}+4\pi \vec{P}$$ (3)

e

$$\vec{D}=\epsilon \vec{E}$$ (4)

para dielétricos simples. Logo,

$$\vec{P}=\frac{1}{4\pi}(\vec{D}-\vec{E})=\frac{1}{4\pi}( \epsilon -1)\vec{E}$$ (5)

O campo que age sobre um átomo é a soma do campo externo aplicado sobre o dielétrico e dos campos que os demais átomos, agora polarizados, produzem na posição do átomo considerado. É dado por

$$\vec{F}=\vec{E}+\frac{4\pi}{3}\vec{P}$$ (6)

como mostraremos mais abaixo. (Por enquanto, acredite neste resultado). Como $\vec{F}$ é o campo que age sobre um átomo, temos

$$\vec{p}=\alpha \vec{F}$$ (7)

Seja $N$ o número de átomos por unidade de volume. Então,

$$\vec{P}=N\vec{p}=N\alpha \vec{F}$$ (8)

Logo,

$$\vec{P}=N\alpha\left(\vec{E}+\frac{4\pi}{3}\vec{P}\right)$$ (9)

e

$$\vec{P}\left(1-\frac{4\pi N \alpha}{3}\right)=N\alpha \vec{E}$$ (10)

Finalmente, usando $\vec{P}=\frac{\epsilon - 1}{4\pi}\vec{E}$,

$$\frac{\epsilon -1}{4\pi}\vec{E}\left(1-\frac{4\pi N \alpha}{3}\right) =N\alpha \vec{E}$$ (11)

de onde segue que

$$\epsilon -1 = \frac{4 \pi N \alpha}{1-\frac{4\pi N \alpha}{3}}$$ (12)

ou, após um pouquinho de álgebra,

$$\frac{\epsilon -1}{\epsilon + 2}=\frac{4\pi N \alpha}{3}\; ,$$ (13)

que é a famosa relação de Clausius-Mossotti. A importância dessa relação é que, do lado direito, temos quantidades relativas a um átomo, enquanto que, do lado esquerdo, temos quantidades macroscópicas. Clausius e Mossotti a descobriram no século XIX, quando se falava ainda na hipótese atômica, e Ernst Mach defendia a idéia de que se devia depurar a física de qualquer menção ao hipotético átomo. A relação de Clausius-Mossotti permitiu, por exemplo, ter-se uma idéia do tamanho do 'tomo. Voltaremos ao assunto mais abaixo.