Obtenção do campo $\vec{F}$

Se o campo externo que age sobre o dielétrico é $\vec{E}$, o campo sobre um átomo desse dielétrico será

$$\vec{F} = \vec{E} + \vec{E}_{at}$$ (14)

onde $\vec{E}_{at}$ é o campo dos outros átomos na posição do átomo em consideração. Em torno do átomo, imaginemos uma cavidade esférica no dielétrico. O centro dessa cavidade é a posição do átomo. Dentro dela, o vazio. O efeito dos campos de todos os outros átomos é criar, sobre a superfície que delimita essa cavidade, uma certa distribuição superficial de cargas. O campo que agirá sobre o átomo, devido aos outros átomos, é o campo, criado por essas cargas, no centro da cavidade.

Cavidade esférica em um dielétrico.
A posição do átomo está marcada com um ponto.

Seja $\vec{P}=P\vec{k}$ a polarização. Colocando a origem das coordenadas no centro da esfera, temos que $\vec{n}=\frac{\vec{r}}{r}$ e

$$\vec{P}.\vec{n}=P\vec{k}.\frac{\vec{r}}{r}=P\frac{z}{r}=P\cos{\theta}$$ (15)

Como vimos, a densidade superficial de cargas de polarização é, precisamente, $\sigma = \vec{P}.\vec{n}$. Logo,

$$\sigma = P \cos{\theta}$$ (16)

O campo desta distribuição de cargas no centro da esfera é dado por $\vec{E}_{at} = E_{at}\vec{k}$, com

$$E_{at}=\int dS \frac{\sigma}{b^2}\frac{\vec{r}}{r}.\vec{k} ... ..._0^{2\pi}d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin{\theta}\cos^2{\theta}$$ (17)

$b$ sendo o raio da esfera. Logo,

$$E_{at}=2\pi P\int_0^{\pi}d\theta \sin{\theta}\cos^2{\theta}$$ (18)

isto é,

$$\vec{E} = \frac{4\pi}{3} \vec{P}$$ (19)

como tínhamos antecipado.