Tratamento completo da magnetização

Consideremos distribuições de correntes tais que

$$\int \vec{j}.\vec{n}dS + \int \sigma_{\perp}dl=0$$ (27)

Vamos mostrar que há soluções distintas de $\vec{j}=0$ e $\vec{\sigma}=0$. De fato, sejam

$$\vec{j} = c\;rot\vec{M}$$ (28)

$$\vec{\sigma} = c \vec{M}\times\vec{n}$$ (29)

Vamos mostrar que, qualquer que seja a superfície $S$ e qualquer que seja a curva fechada $c$ em torno da superfície,

$$\int c\;rot\vec{M}.\vec{n} dS + \oint c\left(\vec{M}\times\vec{n}\right)_{\perp}dl=0$$ (30)

A primeira integral dá, pelo teorema de Stokes,

$$c\oint \vec{M}.\vec{dl}$$ (31)

e a segunda, pelo que vimos na seção anterior, $-c\oint\vec{M}.\vec{dl}$. Logo, a Eq.(30) é satisfeita. Note-se que pode haver compensação: os dois termos não precisam ser, separadamente, nulos. Vamos agora calcular o momento magnético de dipolo devido a ambas as correntes. É praticamente uma repetição de cálculo feito anteriormente. A i-ésima componente de $\vec{m}$ é:

$$m_i = \left(\frac{1}{2c}\int dV\vec{r}\times\vec{j}\right)_i+ \left(\frac{1}{2c}\int dS\vec{r}\times \vec{\sigma}\right)_i$$ (32)

$$= \int dV M_i+ \left(\frac{1}{2}\int dV\vec{\nabla}(\vec{r}.\vec{M})\right)_i -\frac{1}{2}\int dV div(M_i\vec{r})$$ (33)

$$+ \left(\frac{1}{2}\int dS\vec{r}\times c( \vec{M}\times\vec{n})\right)_i$$

Como

$$\vec{r}\times (\vec{M}\times \vec{n})=(\vec{r}.\vec{n})\vec{M}-(\vec{r}.\vec{M})\vec{n}$$

temos

$$\frac{1}{2c}\int dS\vec{r}\times c(\vec{M}\times \vec{n})=\... ... .\vec{n})\vec{M}-\frac{1}{2}\int dS(\vec{r}.\vec{M})\vec{n}$$ (34)

Além disso,

$$\int dV div(M_i\vec{r})=\int dS\; M_i(\vec{r}.\vec{n})=\left(\int dS\vec{M}(\vec{r}.\vec{n}) \right)_i$$ (35)

Logo, temos precisamente

$$\vec{m}=\int dV\vec{M}$$ (36)

e, assim, também quando se consideram as correntes superficiais, a magnetização é o momento de dipolo magnético por unidade de volume. Como a relação definidora de $\vec{M}$ envolve só o seu rotacional, podemos construir infinitos $\vec{M}$ equivalentes adicionando a um deles o gradiente de uma função arbitrária, pois

$$\vec{j}=c\;rot\vec{M}=c\;rot(\vec{M}+grad\;\phi)$$ (37)

e

$$rot\; grad =0$$

Vamos mostrar que $\vec{M}'=\vec{M}+grad\;\phi$ ainda é solução da Eq.(27). De fato, vimos que o último termo dessa equação pode ser escrito, quando se insere a expressão para $\vec{\sigma}$ em termos de $\vec{M}$, como

$$-c\oint \vec{M}.\vec{dl}$$ (38)

Acrescentando-se a $\vec{M}$ um termo da forma $grad\;\phi$ teremos, na última equação, a adição de um termo

$$-c\oint \vec{\nabla}\phi.\vec{dl}$$ (39)

que é zero, pois

$$\vec{\nabla}\phi.\vec{dl}=\vec{\nabla}\phi.\frac{\vec{dl}}{dl}dl=\frac{d\phi}{dl}dl =d\phi$$

e

$$\oint d\phi=0$$

Logo, a Eq.(27) ainda é satisfeita. A densidade de corrente $\vec{j}$ não é alterada pela adição do gradiente, mas a densidade superficial de corrente é. Logo, a flexibilidade na escolha de $\vec{M}$ efetivamente não existe, pois os diversos $\vec{M}$ possíveis correspondem a densidades superficiais de correntes diferentes, e elas são quantidades mensuráveis. Este fato não é só de interesse acadêmico: note que

$$\vec{H}=\vec{B}-4\pi\vec{M}$$ (40)

de maneira que, se $\vec{M}$ tiver alguma ambigüidade, $\vec{H}$ também terá.