Correntes superficiais

Na realidade, um papel essencial é desempenhado pelas correntes superficiais, que foram abandonadas no nosso primeiro tratamento. As correntes de superfície são descritas por um vetor $\vec{\sigma}$ definido assim: $\vec{\sigma}$ é tangente à superfície do condutor; seja $c$ uma curva que é a intersecção, com a superfície do condutor, de um plano que o atravessa. Seja $\vec{dl}$ um vetor infinitesimal tangente a essa curva. Então, a corrente superficial é dada por

$$i_S=\oint \sigma_{\perp} dl$$ (23)

estendendo-se a integral ao longo de toda a curva fechada. Aqui $\sigma_{\perp}$ é a componente de $\sigma$ perpendicular a $\vec{dl}$. Seja $\vec{M}$ a magnetização do material. Vamos mostrar posteriormente que a corrente de magnetização de superfície é dada por $c \vec{M}\times\vec{n}$. Por enquanto, aceitemos que

$$\vec{\sigma}=c\vec{M}\times\vec{n}$$ (24)

Então, qual será a corrente gerada por essa densidade superficial de corrente? Como $\vec{dl}$ é tangente à superfície, o vetor $\frac{\vec{dl}}{dl}$ é um vetor unitário, tangente à superfície do condutor e também à curva $c$. O vetor $\vec{n}\times\frac{\vec{dl}}{dl}$ é tangente à superfície e perpendicular a $\frac{\vec{dl}}{dl}$ e é unitário. Logo, $\sigma_{\perp}$ é dada por

$$\vec{\sigma}.\left(\vec{n}\times\frac{\vec{dl}}{dl}\right)=... ...mes\frac{\vec{dl}}{dl}\right)= -c\vec{M}.\frac{\vec{dl}}{dl}$$ (25)

Então

$$i_S=\oint \sigma_{\perp}dl = -c\oint\vec{M}.\vec{dl}$$ (26)