Interpretação de $\vec{M}$

Sabemos que o momento de dipolo magnético de uma distribuição de correntes estacionárias é

$$\vec{m}=\frac{1}{2c}\int dV \vec{r}\times \vec{j}$$ (16)

Qual é o momento de dipolo magnético gerado pelas correntes microscópicas? Usando a expressão (4),

$$\vec{m}=\frac{1}{2c}\int dV \vec{r}\times c\;rot\;\vec{M}$$ (17)

Um cálculo simples (veja o Apêndice) leva ao seguinte resultado:

$$\left(\frac{1}{2c}\int dV\vec{r}\times \vec{j}\right)_i= \... ...c{M})\right)_i-\frac{1}{2}\int dV\;div\left(M_i\vec{r}\right)$$ (18)

Como $\vec{j}=0$ fora do condutor, essas integrais podem ser tomadas como integrais em todo o espaço. A última delas é

$$-\frac{1}{2}\int dV\;div(M_i\vec{r})=-\frac{1}{2}\int_SM_i\;\vec{r}.\vec{n}dS =0$$ (19)

pois, na segunda integral, a superfície está fora do condutor, onde $\vec{M}=0$. Para calcular a penúltima usaremos uma conseqüência do teorema do divergente que eu chamo de teorema de Pauli-Gauss: seja $a$ uma função (campo escalar). Então, (Apêndice!)

$$\int dV \vec{\nabla}a=\int a\;\vec{n}\;dS$$ (20)

onde $\vec{n}$ é, como de costume, a normal externa à superfície $S$ que envolve o volume $V$. Temos então que

$$\int dV\vec{\nabla}(\vec{r}.\vec{M})=\int_S(\vec{r}.\vec{M})\;\vec{n}dS=0$$ (21)

pois $\vec{M}=0$ fora do condutor. Em conseqüência,

$$\vec{m}=\frac{1}{2c}\int dV\;\vec{r}\times \vec{j}_m=\int dV \; \vec{M}$$ (22)

ou seja, $\vec{M}$ é o momento magnético de dipolo por unidade de volume. $\vec{M}$ é denominado magnetização do material ².