O teorema de Pauli-Gauss

Seja $\vec{v}$ um campo vetorial uniforme (ou seja, constante espacialmente), e $a$ um campo escalar (uma função real). Vamos aplicar o teorema do divergente ao campo vetorial $a\vec{v}$. Temos

$$\int dV div(a\vec{v})=\int_S dS a\vec{v}.\vec{n}$$ (49)

Por outro lado,

$$div(a\vec{v})=a\;div\vec{v}+grad\;a.\vec{v}$$ (50)

e, como $\vec{v}$ é constante, $div\;\vec{v}=0$. Logo,

$$div(a\vec{v})=grad\;a.\vec{v}$$ (51)

Levando este resultado à Eq.(49), temos

$$\int dV grad\;a.\vec{v}=\int_S dS a \vec{v}.\vec{n}$$ (52)

Mas $\vec{v}$ é constante, portanto pode ser colocado fora das integrais:

$$\vec{v}.\int dV grad\;a = \vec{v}.\int_S dS a\;\vec{n}$$ (53)

Como $\vec{v}$ é arbitrário (fora o fato de ser constante), temos

$$\int dV grad\;a = \int_S dS a\;\vec{n}$$ (54)