Os campos de Liénard-Wiechert

Vamos introduzir a notação

$$s=\vert\vec{r}-\vec{R}(t_0)\vert-\frac{\vec{v}(t_0)}{c}.\left(\vec{r}-\vec{R}(t_0)\right)$$ (64)

Usando-a, tem-se, para os potenciais de Liénard-Wiechert (13) e (14),

$$\phi(\vec{r},t) = \frac{e}{s}$$ (65)

$$\vec{A}(\vec{r},t) = \frac{e\vec{v}}{cs}$$ (66)

O campo elétrico é escrito em termos dos potenciais como:

$$\vec{E}(\vec{r},t) = -\vec{\nabla}\phi - \frac{1}{c}\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}$$ (67)

$$= -e\left[\vec{\nabla}\frac{1}{s}+\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\frac{\vec{v}}{cs} \right]$$ (68)

$$= -e\left[-\frac{1}{s^2}\vec{\nabla}s+\frac{1}{c^2}\dot{\vec{v}}(t_... ..._0)}{s^2}\frac{\partial s}{\partial t_0} \frac{\partial t_0}{\partial t}\right]$$ (69)

Cálculo de $\frac{\partial t_0}{\partial t}$:

$$\vert\vec{r}-\vec{R}(t_0)\vert-c(t-t_0) = 0$$ (70)

$$\frac{\partial}{\partial t}\vert\vec{r}-\vec{R}(t_0)\vert - c + c\frac{\partial t_0}{\partial t} = 0$$ (71)

$$\frac{\partial}{\partial t_0}\vert\vec{r}-\vec{R}(t_0)\vert\frac{\partial t_0}{\partial t} - c + c\frac{\partial t_0}{\partial t} = 0$$ (72)

Mas

$$\frac{\partial}{\partial t}\vert\vec{r}-\vec{R}(t_0)\vert=\... ...\vec{r}].\vec{v}(t_0)} {\vert\vec{r}-\vec{R}(t_0)\vert} \; ,$$ (73)

logo,

$$\frac{[\vec{R}(t_0)-\vec{r}].\vec{v}(t_0)} {\vert\vec{r}-\... ...partial t_0}{\partial t}-c+c\frac{\partial t_0}{\partial t}=0$$ (74)

de onde segue imediatamente que

$$\frac{\partial t_0}{\partial t}=\frac{1}{1-\frac{[\vec{r}-\vec{R}(t_0)].\vec{v}(t_0)} {\vert\vec{r}-\vec{R}(t_0)\vert c}}$$ (75)

$$\frac{\partial s}{\partial t_0} = \frac{\partial}{\partial t_0}\left[ \vert\vec{r}-\vec{R}(t_0)\vert-\frac{\vec{v}(t_0)}{c}.(\vec{r}-\vec{R}(t_0))\right]$$ (76)

$$= \frac{[\vec{r}-\vec{R}(t_0)].\vec{v}(t_0)} {\vert\vec{r}-\vec{R}(... ...t{\vec{v}}(t_0)}{c}.\left(\vec{r}-\vec{R}(t_0)\right) +\frac{\vec{v}^2(t_0)}{c}$$ (77)

Conseqüentemente,

$$\vec{E}(\vec{r},t) = -e\left(-\frac{1}{s^2}\vec{\nabla}s+\frac{1}{c^2} \dot{\vec{v}}(t... ...[\vec{r}-\vec{R}(t_0)].\vec{v}(t_0)} {\vert\vec{r}-\vec{R}(t_0)\vert c}}\right)$$ (78)

$$- e\left(\frac{1}{c^2}\frac{\vec{v}}{s^2}\left[\frac{[\vec{r}-\vec{... ...\vec{r}-\vec{R}(t_0)]. \vec{v}(t_0)} {\vert\vec{r}-\vec{R}(t_0)\vert c}}\right)$$

Como

$$\vec{\nabla}s=\frac{\vec{r}-\vec{R}(t_0)}{\vert\vec{r}-\vec{r}-\vec{R}(t_0)\vert}-\frac{\vec{v}(t_0)} {c}$$ (79)

temos, juntando tudo,

$$\vec{E}(\vec{r},t) = e\left[-\frac{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}{s^3} \{(\vec{R}-\vec{r})+\frac{\vec{v}}{c}\vert\vec{R}-\vec{r}\vert\}\right]_{t_0}$$ (80)

$$+ e\left[\frac{1}{s^3c^2}(\vec{R}-\vec{r})\times\left( (\vec{R}-\ve... ...c{\vec{v}}{c}\vert\vec{R}-\vec{r}\vert)\times \dot{\vec{v}}\right)\right]_{t_0}$$

Aqui vemos o campo elétrico dividido claramente em duas partes: a primeira cai com a quadrado da distância; a segunda, que cai linearmente com a distância, é o campo de radiação. Existe apenas quando $\dot{\vec{v}}$ é diferente de zero, ou seja, quando a carga é acelerada.