Uma derivada importante

Nesta seção realizamos em detalhe o cálculo prometido acima. A função cuja derivada (em $t'$) devemos calcular é:

$$f(t')=t'-t+\frac{\vert\vec{r}-\vec{R}(t')\vert}{c}$$ (58)

Temos

$$\frac{df}{dt'}=1+\frac{1}{c}\frac{d}{dt'}\vert\vec{r}-\vec{R}(t')\vert$$ (59)

Mas

$$\frac{d}{dt'}\vert\vec{r}-\vec{R}(t')\vert = \frac{d}{dt'}\sqrt{(\vec{r}-\vec{R}(t')).(\vec{r}-\vec{R}(t'))}$$ (60)

$$= \frac{1}{2\vert\vec{r}-\vec{R}(t')\vert}2\left(\vec{r}-\vec{R}(t')\right).(-\vec{v}(t'))$$ (61)

$$= -\frac{(\vec{r}-\vec{R}(t')).\vec{v}(t')}{\vert\vec{r}-\vec{R}(t')\vert}$$ (62)

Logo,

$$\delta\left(f(t')\right)=\frac{1}{\left\vert 1-\frac{v}{c}.... ...rt\vec{r} -\vec{R}(t')\vert}\right\vert}_{t_0}\delta(t'-t_0)$$ (63)

como prometido.