A questão do termo $\delta\phi \vec{1}$ na expressão para $G$

Uma transformação que altera a fase de todos os estados por um mesmo valor, é equivalente à identidade, na mecânica quântica. Então, quando a ordem em que duas transformações são aplicadas é irrelevante, não segue necessariamente que o comutador é zero: ele pode ser da forma $\delta\phi \vec{1}$ (que inclui zero como um caso particular).

A determinação de $\delta_{[12]}\phi$ não pode se basear em considerações geométricas, que são clássicas. Temos que determiná-la exigindo a consistência do formalismo.

A expressão mais geral para $\delta_{[12]}\phi=-\delta_{[21]}\phi$ é

$$\phi = K(\delta_1\vec{\omega}.\delta_2\vec{\epsilon}- \delta_2\vec{\omega}.\delta_1\vec{\epsilon})$$ (152)

$$+ L(\delta_1\vec{\omega}.\delta_2\vec{v}-\delta_2\vec{\omega}.\delta_1\vec{v})$$

$$+ M(\delta_1\vec{\epsilon}.\delta_2\vec{v}-\delta_2\vec{\epsilon}.\delta_1\vec{v})$$

onde $K$, $L$ e $M$ são constantes. Considere a identidade de Jacobi

$$[[G_1,G_2],g_3]+[[G_3,G_1],G_2]+[[G_2,G_3],G_1]=0$$ (153)

que pode ser escrita

$$G_{[[123]}+G_{[[31]2]}+G_{[[23]1]}=0$$ (154)

e, como

$$G_{[12]}=\delta_{[12]}\lambda_a G_a$$ (155)

temos

$$\delta_{[[12]3]}\lambda_a+\delta_{[[31]2]}\lambda_a+\delta_{[[23]1]}\lambda_a=0$$ (156)

para cada $a$, e, em particular, para $\lambda_a=\phi$. Usando então a expresão para $\delta_{[12]}\phi$, temos

$$0 = K\left[\delta_{[12]}\vec{\omega}.\delta_3\vec{\epsilon}-\delta_3\vec{\omega}. \delta_{[12]}\vec{\epsilon}+ \;\;perm. \;\; cicl.\right]$$ (157)

$$+ L\left[\delta_{[12}\vec{\omega}.\delta_3\vec{v}-\delta_3\vec{\omega}. \delta_{[12]}\vec{v}+\;\;perm.\;\;cicl.\right]$$

$$+ M\left[\delta_{[12]}\vec{\epsilon}.\delta_3\vec{v}-\delta_3\vec{\epsilon}. \delta_{[12]}\vec{v}+ \;\;perm.\;\;cicl.\right]$$

Um cálculo explícito mostra que o coeficiente de $M$ é zero, enquanto que os de $K$ e $L$ não são identicamente nulos. Logo, a identidade de Jacobi força $K$ e $L$ a serem nulos, permitindo, porém, que $M\neq 0$. Logo,

$$\delta_{[12]}\phi=M\left(\delta_1\vec{\epsilon}.\delta_2\vec{v}-\delta_2\vec{\epsilon}. \delta_1\vec{v}\right)$$ (158)