A Relatividade de Einstein

As transformações de Lorentz são transformações lineares homogêneas que mantêm invariante aforma quadrática $g_{\mu\nu}x^\mu x^\nu$. Escrevendo

$$\overline{x}^\mu=x^\mu-\delta\omega^{\mu \nu}x_\nu$$ (159)

a condição de invariância impõe que $\delta\omega_{\mu \nu}x^\mu x^\nu=0$, ou seja,

$$\delta\omega_{\mu \nu}=-\delta\omega_{\nu \mu}$$ (160)

Conclusão: as transformações infinitesimais de Lorentz são transformações do tipo

$$\overline{x}^\mu=x^\mu-\delta\omega^{\mu}_{\; \nu}x^\nu$$ (161)

com $\delta\omega_{\mu \nu}=-\delta\omega_{\nu \mu}$.

As transformações de Poincaré são as transformações de Lorenyz e mais quatro translações, ou seja:

$$\overline{x}^\mu=x^{\mu}-\delta\omega^{\mu}_{\nu}x^\nu-\delta\epsilon^\mu \equiv x^\mu-\delta x^\mu$$ (162)

e formam um grupo de 10 parâmetros. A relação com os parâmetros do grupo de Galileu vem através de

$$\delta\omega_{k l}=\epsilon_{klm}\delta\omega_m$$ (163)

$$\delta\omega_{0k}=\frac{\delta v_k}{c}$$ (164)

A composição de parâmetros é obtida lembrando que

$$\delta_{[12]}x^\mu=\delta_2\delta_1x^\mu-\delta_1\delta_2x^\mu$$ (165)

Mas

$$\delta_1x^\mu=\delta_1\omega^{\mu \nu}x_\nu + \delta_1\epsilon^\mu$$ (166)

$$\begin{eqnarray*} \delta_2\delta_1x^\mu & = & \delta_1\omega^{\mu \nu}\delta_2 x... ...ega^{\mu \nu}\delta_2\epsilon_\nu + \delta_2\delta_1\epsilon^\mu \end{eqnarray*}$$

Então

$$\delta_{[12]}x^\mu = \left(\delta_1\omega^{\mu \nu}\delta_2\omega_{\nu \lambda}-\delta_2\omega^{\mu \nu}\delta_1\omega_{\mu \nu}\right)x^\lambda$$ (167)

$$+ \delta_1\omega^{\mu \nu}\delta_2\epsilon_\nu - \delta_2\omega^{\mu \nu}\delta_1\epsilon_\nu$$

de modo que

$$\delta_{[12]}\omega^\mu_\lambda = \delta_1\omega^{\mu \nu}\delta_2\omega_{\nu \lambda}-\delta_2\omega^{\mu \nu}\delta_1\omega_{\nu \lambda}$$ (168)

$$\delta_{[12]}\epsilon^\mu = \delta_1\omega^{\mu \nu}\delta_2\epsilon_\nu - \delta_2\omega^{\mu \nu}\delta_1\epsilon_\nu$$ (169)

Os comutadores da álgebra de Lie podem ser calculados agora da forma usual, pondo-se

$$\delta_{[12]}\lambda_a G_a=\frac{1}{i}[\delta_1\lambda_b G_b,\delta_2\lambda_c G_c]$$ (170)

e

$$G=P^\mu\delta\epsilon_\mu+\frac{1}{2}J^{\mu \nu}\delta\omega_{\mu \nu}+\delta\phi \vec{1}$$ (171)

Contudo, $\delta_{[12]}\phi$ neste caso é zero, porque é impossível construir uma forma bilinear antissimétrica ( $\delta_{[12]}\phi=-\delta_{[21]}\phi$) com $\delta_{1,2}\epsilon^\mu$ e $\delta_{1,2}\omega^{\mu \nu}$ que seja um escalar. Então,

$$P^\mu\delta_{[12]}\epsilon_\mu+\frac{1}{2}J^{\mu \nu}\delta_{[12]}\omega_{\mu \nu} = \frac{1}{i}\delta_1\epsilon_\lambda\delta_2\epsilon_\omega[P^\lam... ...on_\lambda\delta_2\omega_{\alpha \beta}\frac{1}{2}[P^\lambda,J^{\alpha, \beta}]$$ (172)

$$+ \frac{1}{i}\delta_1\omega_{\alpha \beta}\delta_2\epsilon_\lambda[... ...lpha \beta}\delta_2\omega_{\lambda \gamma}[J^{\alpha \beta},J^{\lambda \gamma}]$$

Daí se tira imediatamente que

$$[P^\lambda,P^\omega]=0 \;.$$ (173)

Comparando os termos que contêm produtos $\delta\omega \; \delta\epsilon$, vê-se que

$$P^\mu\left(\delta_1\omega_{\mu \nu}g^{\nu \lambda}\delta_2\epsilon_\lambda-\delta_2\omega_{\mu \nu}g^{\nu \lambda}\delta_1\epsilon_\lambda\right) =$$ (174)

$$\frac{1}{i}\delta_1\epsilon_\lambda\delta_2\omega_{\mu \nu}\frac{... ...ac{1}{i}\delta_2\epsilon_\lambda\delta_1\omega_{\mu \nu}[P^\lambda,J^{\mu \nu}]$$

e

$$P^\mu g^{\nu \lambda}\delta_1\omega_{\mu \nu}\delta_2\epsilon_\lambda-P^\mu g^{\nu \lambda}\delta_1\epsilon_\lambda\delta_2\omega_{\mu \nu} =$$ (175)

$$\frac{1}{2i}(\delta_1\epsilon_\lambda\delta_2\omega_{\mu \nu}-\delta_2\epsilon_\lambda\delta_1\omega_{\mu \nu})[P^\lambda,J^{\mu \nu}]$$

Antissimetrizando o primeiro termo em relação a $(\mu, \nu)$, tem-se

$$\frac{1}{2}(P^\mu G^{\nu \lambda}-P^\nu g^{\mu \lambda})\delta_1\... ...\lambda}-P^\nu g^{\mu \lambda})\delta_2\omega_{\mu \nu}\delta_1\epsilon_\lambda =$$ (176)

$$\frac{1}{2i}(\delta_1\epsilon_\lambda\delta_2\omega_{\mu \nu}-\delta_2\epsilon_\lambda\delta_1\omega_{\mu \nu})[P^\lambda,J^{\mu \nu}]$$

de onde se tira, finalmente,

$$\frac{1}{i}[P^\lambda,J^{\mu \nu}]=P^\nu g^{\mu \lambda}-P^\mu g^{\nu \lambda}$$ (177)

Casos importantes são:

$$\left[P^0, P^\nu\right] = 0$$ (178)

$$i\left[P^0, J^{ik}\right] = 0$$ (179)

De maneira análoga se obtém

$$\frac{1}{i}\left[J_{\mu \nu},J_{\kappa \lambda}\right]=g_{\m... ...a}+g_{\nu \lambda}J_{\mu \kappa}-g_{\mu \lambda}J_{\nu \kappa}$$ (180)