A Relatividade de Galileu

As transfromações infinitesimais de galileu são transformações de coordenadas $\vec{r},t \mapsto \overline{\vec{r}}, \overline{t}$, tais que:

$$\overline{\vec{r}} = \vec{r}-\delta\vec{r}$$ (87)

$$\overline{t} = t-\delta t$$ (88)

e

$$\delta\vec{r}=\delta\vec{\epsilon}+\delta\vec{\omega}\times \vec{r}+\delta\vec{v}\;t\;\;,$$ (89)

totalizando 10 parâmetros: 3 vetores ( $\delta\vec{\epsilon}$, $\delta\vec{\omega}$ e $\delta\vec{v}$) e um escalar ($\delta t$). Vamos comparar as aplicações, nas duas ordens, das transformações

$$1:\;\;\overline{\vec{r}} = \vec{r}-\delta_1\vec{r}\;\;\;, \overline{t}=t-\delta_1t$$ (90)

$$2:\;\;\overline{\vec{r}} = \vec{r}-\delta_2\vec{r}\;\;\;, \overline{t}=t-\delta_2t$$ (91)

ou seja, vamos calcular as seqüências de transfromações $1^{-1}$,$2^{-1}$,$1$,$2$:

$$1^{-1}:\;\; \overline{\vec{r}} = \vec{r}+\delta_1\vec{r}\;\;\; ; \overline{t}=t+\delta_1 t$$ (92)

$$2^{-1} : \overline{\overline{\vec{r}}} =\overline{\vec{r}}+\delta_2\overline{\vec{r}}\;\;\; ;\overline{\overline{t}}=\overline{t}+\delta_2\overline{t}$$ (93)

$$\overline{\overline{\vec{r}}}=\vec{r}+\delta_1\vec{r}+\delta_2(\v... ...elta_1\vec{r}) =\vec{r}+\delta_1\vec{r}+\delta_2\vec{r}+\delta_2\delta_1\vec{r}$$

$$\overline{\overline{t}}=t+\delta_1t+\delta_2 t +\delta_1 \delta_2t$$ (94)

No que se segue usaremos uma modificação da notação: em lugar de

$$\overline{\overline{\overline{\vec{r}}}}$$

usaremos $\vec{r}^{(3)}$. Assim, $\vec{r}^{(4)}$ aparecerá também em lugar de $\vec{r}$ com quatro tracinhos em cima. O mesmo para $t$.

$$1 : \vec{r}^{(3)}=\vec{r}^{(2)}-\delta_1\vec{r}^{(2)}=\vec{r}+\delta_1+\delta_2\vec{r} +\delta_1\delta_2\vec{r}-\delta_1(\vec{r}+\delta_2\vec{r})$$ (95)

$$\vec{r}^{(3)}=\vec{r} + \delta_2\vec{r}+\delta_2\delta_1\vec{r}-\delta_1\delta_2\vec{r}$$

$$t^{(3)}=t^{(2)}-\delta_1t^{(2)}=t+\delta_1 t+\delta_2 t +\delta_1... ..._2t- \delta_1(t+\delta_2 t)=t+\delta_2 t+\delta_2\delta_1 t -\delta_1\delta_2 t$$

$$2 : \vec{r}^{(4)}=\vec{r}^{(3)}-\delta_2\vec{r}^{(3)}=\vec{r}+\delta_2\vec{r}+ \delta_2\delta_1\vec{r}-\delta_1\delta_2\vec{r}-\delta_2\vec{r}$$ (96)

$$\vec{r}^{(4)}=\vec{r}+\delta_2\delta_1\vec{r}-\delta_1\delta_2\vec{r}$$

$$t^{(4)}=t^{(3)}-\delta_2t^{(3)}=t+\delta_2t+\delta_2\delta_1t-\delta_1\delta_2t-\delta_2t$$ (97)

$$t^{(4)}=t+\delta_2\delta_1t-\delta_1\delta_2t$$

Definindo

$$\delta_{\left[12\right]}=\delta_2\delta_1-\delta_1\delta_2$$ (98)

temos

$$\delta_{\left[12\right]}\vec{r}=\delta_{\left[12\right]}\vec... ...\vec{\omega})\times\vec{r} +(\delta_{\left[12\right]}\vec{v})t$$ (99)

Como

$$\delta_1\vec{r} = \delta_1\vec{\epsilon}+\delta_1\vec{\omega}\;\times\vec{r} +\delta_1\vec{v}\;t$$ (100)

$$\delta_2\vec{r} = \delta_2\vec{\epsilon}+\delta_2\vec{\omega}\;\times \vec{r} +\delta_2\vec{v}\;t$$ (101)

$$\delta_2(\delta_1\vec{r} = \delta_2\delta_1\vec{\epsilon}+\delta_1\vec{\omega}\; \times \delta_2\vec{r}+\delta_1\vec{v}\delta_2t$$ (102)

$$\delta_2(\delta_1\vec{r}) = \delta_1\vec{\omega}\times (\delta_2\vec{\epsilon}+ \delta_2\vec{\omega}\;\times\vec{r}+\delta_2\vec{v}\;t)+\delta_1\vec{v}\delta_2t$$

$$\delta_2(\delta_1\vec{r}) = \delta_1\vec{\omega}\times\delta_2\vec{\epsilon}+ \delta_1\vec{\o... ...\vec{r})+\delta_1\vec{\omega} \times\delta_2\vec{v}\;t+\delta_1\vec{v}\delta_2t$$

$$\delta_1(\delta_2\vec{r}) = \delta_2\vec{\omega}\times\delta_1\vec{\epsilon}+ \delta_2\vec{\o... ...es\vec{r})+\delta_2\vec{\omega} \times\delta_1\vec{v}t+\delta_2\vec{v}\delta_1t$$

o que dá, finalmente,

$$\delta_{\left[12\right]}\vec{\epsilon}=\delta_1\vec{\omega}\... ...c{\epsilon}+\delta_1\vec{v}\delta_2t -\delta_2\vec{v}\delta_1t$$ (103)

$$\delta_{\left[12\right]}\vec{\omega}=\delta_1\vec{\omega}\times\delta_2\vec{\omega}$$ (104)

$$\delta_{\left[12\right]}\vec{v}=\delta_1\vec{\omega}\times\delta_2\vec{v}-\delta_2\vec{\omega} \times\delta_1\vec{v}$$ (105)

A transformação unitária infinitesimal que age sobre os estados,

$$U=1+iG$$

é dada por

$$G=\left[\delta\vec{\epsilon}.\vec{P}+\delta\vec{\omega}.\vec{J} +\delta\vec{v}.\vec{N}-\delta t\;H\right]+\delta\phi \vec{1}$$ (106)

Os geradores $\vec{P}$ e $\vec{J}$ são denominados momento linear e momento angular; $H$ é o operador hamiltomiano; os geradores de variações infinitesimais de velocidades serão chamados de ``boosts''.

A determinação das constantes de estrutura,e, portanto, das relações de comutação, segue a estratégia que vamos expor agora.

Pondo

$$G_{\left[12\right]} = \delta_{\left[12\right]}\lambda_c G_c$$ (107)

$$G_1 = \delta_1\lambda_a G_a$$ (108)

$$G_2 = \delta_2 \lambda_b G_b$$ (109)

e, lembrando que

$$G_{\left[12\right]}=\frac{1}{i}\left[G_1,G_2\right]$$ (110)

obtém-se:

$$\left[\delta_1\lambda_a G_a,\delta_2 \lambda_b G_b\right]=i\delta_{\left[12\right]}\lambda_c G_c$$ (111)

Mas o segundo membro é

$$i\left(\delta_{\left[12\right]}\epsilon_k P_k+\delta_{\left[... ...a_{\left[12\right]}v_k N_k-\delta_{\left[12\right]} t H\right)$$ (112)

de maneira que, comparando os dois membros, deduzem-se as relações de comutação.
Exemplo:

$$\left[\delta_1 \omega_i J_i, \delta_2 \omega_j J_j\right] = i\delta_{\left[12\right]}\omega_k J_k$$ (113)

$$= i\epsilon_{klm}\delta_1 \omega_l \delta_2 \omega_m J_k$$ (114)

$$= i\epsilon_{kij}J_k\delta_1 \omega_i \delta_2 \omega_j$$ (115)

$$\left[J_i, J_j\right] = i\epsilon_{kij}J_k$$ (116)

Não sabemos ainda como determinar $\delta_{\left[12\right]}\phi$, por não existir transformação clássica correspondente. Na seção seguinte mostraremos como determiná-la. O resultado que se obtém é:

$$\delta_{\left[12\right]}\phi = M(\delta_1\vec{\epsilon}.\delta_2\vec{v}-\delta_2\vec{\epsilon}.\delta_1\vec{v})\;.$$ (117)

Com isto, todas as relações de comutação podem ser escritas. Elas são:

$$\left[J_k,J_l\right] = i\epsilon_{klm}J_m$$ (118)

$$\left[P_k, J_l\right] = i\epsilon_{klm}P_m$$ (119)

$$\left[N_k,N_l\right]=0$$ (120)

$$\left[P_k,H\right]=0$$ (121)

$$\left[N_k,J_l\right]=i\epsilon_{klm}N_m$$ (122)

$$\left[P_k,P_l\right]=0$$ (123)

$$\left[P_k,N_l\right]=i\delta_{kl}M$$ (124)

$$\left[J_k,H\right]=0$$ (125)

$$\left[N_k,H\right]=-iP_k$$ (126)

Note que

$$G_{[12]}=\frac{1}{i}[G_1,G_2]=\delta_2 G_1=-\delta_1 G_2$$ (127)

pois

$$\delta_2G_1=U_2G_1U_2^{-1}-G_1=(1+iG_2)G_1(1-iG_2)-G_1$$ (128)

$$\delta_2G_1=\frac{1}{i}[G_1,G_2]$$ (129)

Usando esta notação, podemos escrever

$$\delta_{\omega}\vec{J} = (1+i\delta\vec{\omega}.\vec{J})\vec{J}(1-i\delta\vec{\omega})-\vec{J}$$ (130)

$$\delta_{\omega}\vec{J} = \frac{1}{i}\left[\vec{J},\vec{J}.\delta\vec{\omega}\right]$$ (131)

e, da mesma forma,

$$\delta_{\omega}\vec{P}=\frac{1}{i}[\vec{P},\vec{J}.\delta\vec{\omega}]=\delta\vec{\omega} \times\vec{P}$$ (132)

$$\delta_{\omega}\vec{N}=\frac{1}{i}[\vec{N},\vec{J}.\delta\vec{\omega}]=\delta\vec{\omega} \times\vec{N}$$ (133)

que revelam a resposta de um vetor a rotações infinitesimais, e

$$\delta_{\omega} H=\frac{1}{i}[H,\vec{J}.\delta\vec{\omega}]=0$$ (134)

que caracteriza $H$ como um escalar sob rotações.

Analogamente, as respostas a translações infinitesimais são

$$\delta_{\epsilon}\vec{J}=\frac{1}{i}[\vec{J},\vec{P}.\delta_{\epsilon}]= \delta_{\epsilon}\times\vec{P}$$ (135)

$$\delta_{\epsilon}=\frac{1}{i}[\vec{P},\vec{P}.\delta_{\epsilon}]=0$$ (136)

$$\delta_{\epsilon}\vec{N}=\frac{1}{i}[\vec{N},\vec{P}.\delta_{\epsilon}]=-M\delta\vec{\epsilon}$$ (137)

$$\delta_{\epsilon} H=\frac{1}{i}[H,\vec{P}.\delta\vec{\epsilon}]=0$$ (138)

A equação

$$\frac{1}{i}[\vec{J},\vec{P}.\delta\vec{\epsilon}]=\delta\vec{\epsilon}\times \vec{P}$$ (139)

admite a solução

$$\vec{J}=\vec{R}\times \vec{P}+\vec{S}$$ (140)

com

$$[R_k,P_l]=i\delta_{kl}$$ (141)

e

$$[S_i,P_k]=[S_i,R_k]=0$$ (142)

Para que se mantenham válidas $[J_i,J_k]=i\epsilon_{ikl}J_l$, é necessário ainda que

$$[S_i,S_k]=i\epsilon_{ikl}S_l$$ (143)

que podem ser escritas assim:

$$\vec{S}\times\vec{S}=i\vec{S}$$ (144)

Finalmente, da resposta de $\vec{N}$ a translações e rtotações, obtém-se

$$\vec{N}=\vec{P}t-M\vec{R}$$ (145)

Resumindo,

$$\vec{J} = \vec{R}\times\vec{P} + \vec{S}$$ (146)

$$\vec{N} = \vec{P}t-M\vec{R}$$ (147)

$$\left[R_i,P_k\right] = i\delta_{ik}$$ (148)

$$\left[S_i,S_K\right] = i\epsilon_{ikl}S_l$$ (149)

$$\left[R_i,S_l\right] = \left[P_i,S_l\right]=0$$ (150)

satisfazem automaticamente todas as relações de comutação.
Teorema: os geradores das transformações de relatividade são constantes do movimento.

Segue diretamente da álgebra.
(i)$\vec{R}$, $\vec{P}$, $\vec{S}$ não dependem explicitamente do tempo. Então, por exemplo, $\frac{d\vec{P}}{dt}=\frac{1}{i}[\vec{P},H]=0$.
(ii) $\vec{N}=\vec{P}t-M\vec{R}$ depende explicitamente do tempo. Então,

$$\frac{d\vec{N}}{dt}=\frac{\partial \vec{N}}{\partial t}+\frac{1}{i}[\vec{N},H] =\vec{P}-\vec{P}=0$$ (151)

Seja $\vert\;\rangle$ um estado em repouso em relação ao sistema inercial $S$; seja $U$ omoperador de transformação infinitesimal ``de relatividade''. Então $U\\ ;\rangle$ é um estado, e, na verdade, pode ser considerado como o mesmo estado, visto de um novo sistema de referência $S^\prime$, obtido do primeiro por uma transformação de relatividade que corresponde a uma escolha fixa dos parâmetros. A relação entre $s^\prime$ e $S$ (em termos de parâmetros) não depende do tempo. Por isso os geradores não podem depender do tempo.