Transformações unitárias

Na mecânica quântica os estados, situações de máxima informação, são representados por vetores em um espaço complexo (bras $\langle\;\vert$ e kets $\vert\;\rangle$). As propriedades físicas são representadas por operadores lineares hermiteanos sobre este espaço. A liberdade existente na descrição física corresponde à liberdade de representação matemática associada a operadores unitários,

$$U^\dagger U = U U^\dagger =1$$ (1)

ou

$$U^\dagger = U^{-1}$$ (2)

Quando vetores e operadores são transformados na forma seguinte:

$$\overline{\langle \;\;\vert} = \langle \;\;\vert U$$ (3)

$$\overline{\vert\;\;\rangle} = U^{-1}\vert\;\;\rangle$$ (4)

$$\overline{X} = U^{-1}XU$$ (5)

todas as relações numéricas entre vetores e operadores são conservadas:

$$\overline{\langle a^\prime}\overline{\vert b^\prime\rangle} = \langle a^\prime\vert b^\prime\rangle$$ (6)

$$\overline{\langle a^\prime}\vert\overline{X}\vert\overline{b^\prime\rangle} = \langle a^\prime\vert X\vert b^\prime\rangle$$ (7)

Também a relação

$$\langle a^\prime\vert= \vert a^\prime\rangle ^\dagger$$ (8)

é conservada:

$$\langle\overline{a^\prime}\vert=\langle a^\prime\vert U$$ (9)

e

$$\vert\overline{a^\prime}\rangle ^\dagger = (U^{-1}\vert a^\prime\rangle)^\dagger=\langle a^\prime\vert U$$ (10)

logo,

$$\langle \overline{a^\prime}\vert = \vert\overline{a^\prime}\rangle^\dagger$$ (11)

Finalmente,

$$\overline{X}^\dagger=\left(U^{-1}XU\right)^\dagger = U^{-1}X^\dagger U$$ (12)

de maneira que se $X$ é hermiteano, $\overline{X}$ também o é.

Um conjunto completo de estados $\langle a^\prime\vert$ forma uma base do espaço de estados. Um vetor arbitrário $\vert\;\;\rangle$ é representado por suas componentes $\langle a^\prime\vert\;\;\rangle$ relativas a essa base. A expressão é:

$$\vert\;\;\rangle = \sum_{a^\prime}\vert a^\prime\rangle\langle a^\prime\vert\;\;\rangle$$ (13)

e a relação $\sum_{a^\prime}\vert a^\prime\rangle\langle a^\prime\vert=1$ é a relação de completude (entre os físicos, ``completeza'').

A partir da base $\langle a^\prime\vert$ pode-se obter uma outra, $\langle \overline{a^\prime}\vert$, por uma trnasformação unitária

$$\langle\overline{a^\prime}\vert=\langle a^\prime\vert U$$ (14)

e as componentes do vetor $\vert\;\;\rangle$ serão

$$\langle \overline{a^\prime}\vert\;\;\rangle=\langle a^\prime\vert U\vert\;\;\rangle \;\;,$$ (15)

que podem também ser interpretadas como as componentes, relativas à base inicial, do vetor $U\vert\;\;\rangle$. Analogamente,

$$\langle\overline{a^\prime}\vert X\vert\overline{a^{\prime \p... ...e a^\prime\vert UXU^{-1}\vert a^{\prime \prime}\rangle \; \; .$$ (16)

Suponhamos que sejam realizadas, sobre a base $\langle a\prime\vert$, primeiro uma transformação $U_{1}$, e a seguir uma $U_{2}$. Do ponto de vista ``ativo'', o vetor $\vert\;\;\rangle$ é levado em $U_{1}\vert\;\;\rangle$, e este em $U_{2}(U_{1}\vert\;\;\rangle)$. As componentes reagem assim:

$$\langle a^\prime\vert\;\;\rangle \rightarrow U_{1} \rightarr... ...} \rightarrow \langle a^\prime\vert U_{2}U_{1}\vert\;\;\rangle$$ (17)

Esta transformação é produzida, em 1 passo, pelo operador $U_{2}U_{1}$ A ordem oposta das operações é efetuada pelo operador $U_1U_2$. Seja $U_{\left[12\right]}$ o operador que liga as duas ordens, ou seja,

$$U_{\left[12\right]}U_{1}U_{2}=U_{2}U_{1}$$ (18)

Naturalmente,

$$U_{\left[12\right]}=U_2U_1U_{2}^{-1}U_{1}^{-1}=U_{\left[21\right]}^{-1}$$ (19)

Chama-se transformação unitária infinitesimal uma transformação da forma

$$U=1+i\epsilon G$$ (20)

onde $\epsilon$ é um número muito pequeno e $G$ é hermiteano.Temos

$$U^\dagger=U^{-1}=1-i\epsilon G$$ (21)

No que se segue vamos, para aliviar a notação, supor $\epsilon$ incorporado a $G$. A transformação infinitesimal será, isto é, denotada por $1+iG$.

Suponhamos que $U_1$ e $U_2$ sejam tansformação infinitesimais unitárias. O operador $U_{\left[12\right]}$ associado a eles é também unitário. Como a combinação de um número finito de transformações infinitesimais deve ser uma transformação infinitesimal, deve existir $G_{\left[12\right]}$ hermiteano, tal que

$$U_{\left[12\right]}=1+iG_{\left[12\right]}$$ (22)

Qual é a relação entre $G_{\left[12\right]}$, $G_{1}$ e $G_{2}$? Como $U_{\left[12\right]}=U_{2}U_{1}U_{2}^{-1}U_{1}^{-1}$, segue que

$$U_{\left[12\right]}=(1+iG_{2})(1+iG_{1})(1-iG_{2})(1-iG_{1})$$ (23)

$$= + iG_{2}+iG_{1}-iG_{2}-iG_{1}+i^2G_{2}G_{1}-i^2G_{2}G_{2}-i^2G_{1}G_{2}-i^2G_{2}G_{1} -i^2G_{1}G_{1}+i^2G_{2}G_{2}$$

ou

$$U_{\left[12\right]}=1+i^2\left(G_{2}G_{1}-G_{1}G_{2}\right) + G_{1}G_{1}+G_{2}G_{2}$$ (24)

e, mantendo só os termos lineares,

$$U_{\left[12\right]}=1 + i\left(\frac{1}{i}\left[G_{1},G_{2}\right]\right)=1 + iG_{\left[12\right]}$$ (25)

Note que os termos $G_{1}^2$ e $G_{2}^2$ são de segunda ordem, e são cancelados se se escreve a contribuição completa té segunda ordem, que é

$$U_{\left[12\right]}=(1+iG_{2}+\frac{i^2}{2!}G_2G_2)(1+iG_1+\... ..._1) (1-iG_2+\frac{i^2}{2!}G_2G_2)(1-iG_1+\frac{i^2}{2!}G_1G_1)$$ (26)

Desta maneira, obtemos

$$U_{\left[12\right]}=1+iG_{\left[12\right]}$$ (27)

com

$$G_{\left[12\right]}= -G_{\left[21\right]}=\frac{1}{i}\left[G_1,G_2\right]$$ (28)

que introduz o comutador $\left[G_1,G_2\right]$.

O efeito de uma transformação infinitesimal unitária sobre um operador é dado por

$$UXU^{-1}=(1+iG)X(1-iG)=X+iGX-iXG=X+\frac{1}{i}\left[X,G\right]$$ (29)

ou

$$UXU^{-1}=X+\delta X$$ (30)

com

$$\delta X=\frac{1}{i}\left[X,G\right] \;.$$ (31)

Da penúltima equação segue que

$$U^{-1}(UXU^{-1})U= U^{-1}XU+U^{-1}\delta XU$$ (32)

ou

$$X=U^{-1}XU+\delta X$$

ou seja,

$$U^{-1}XU=X-\delta X$$ (33)

uponhamos que

$$U_1XU_1^{-1}=X + \delta_1 X$$ (34)

com

$$\delta_1 X=\frac{1}{i}\left[X,G_1\right]$$ (35)

Queremos calcular $U_2\delta_1 X U_2^{-1}$, onde $U_2=1+iG_2$ é outra transformação infinitesimal unitária. Temos

$$(1+iG_2)\frac{1}{i}\left[X,G_1\right](1-iG_2)=\frac{1}{i}\left[X,G_1\right]+ G_2\left[X,G_1\right]-\left[X,G_1\right]G_2$$ (36)

de maneira que

$$U_2\delta_1X U_2^{-1}=\delta_1X+\frac{1}{i}\left[\frac{i}{i}\left[X,G_1\right],G_2\right] =\delta_1X +\delta_2\delta_1X$$ (37)

Mais geralmente,

$$U_2U_1XU_1^{-1}U_2^{-1}=U_2(X+\delta_1X)U_2^{-1}= X+\delta_2X+\delta_1X +\delta_2\delta_1X$$ (38)

e, naturalmente,

$$U_1U_2XU_2^{-1}U_1^{-1}=X+\delta_2X+\delta_1X+\delta_1\delta_2X$$ (39)

Finalmente,

$$U_2U_1XU_1^{-1}U_2^{-1}-U_1U_2XU_2^{-1}U_1^{-1}=\delta_2\delta_1X -\delta_1\delta_2X$$ (40)

Notando que

$$U_2U_1 = U_{\left[12\right]}U_1U_2$$ (41)

$$U_1^{-1}U_2^{-1} = U_2^{-1}U_1^{-1}U_{\left[12\right]}^{-1}$$ (42)

esta última relação pode ser escrita

$$U_{\left[12\right]}U_1U_2XU_2^{-1}U_1^{-1}U_{\left[12\right]}^{-1}-U_1U_2XU_2^{-1}U_1^{-1} =\delta_{\left[12\right]}X$$ (43)

Obtém-se assim

$$\delta_{\left[12\right]}X=\delta_2\delta_1X-\delta_1\delta_2X$$ (44)

que, em termos de comutadores, é escrita:

$$\left[X,\left[G_2,G_1\right]\right]+\left[G_1,\left[X,G_2\right]\right]+\left[G_2,\left[G_1,X\right]\right]=0$$ (45)

que é a famosa identidade de Jacobi.

Consideremos agora um grupo de transformações unitárias de $n$ parâmetros $\lambda_a$, ($a=1,...,n$), abreviados por $\lambda$. Se $U_{\lambda_1}$ e $U_{\lambda_2}$ são operadores deste grupo, é necessário que

$$U(\lambda_2)U(\lambda_1)=U(\lambda)$$ (46)

onde $\lambda=\lambda(\lambda_1,\lambda_2)$ são os parâmetros de um outro elemento do grupo. Uma transformação infinitesimal do grupo, com parâmetros $\delta\lambda_a$, é construída a partir de

$$G=\sum_{a=1}^n\delta\lambda_a G_a$$ (47)

ou seja,

$$U=1+i\sum_{a=1}^n\delta\lambda_a G_a \; ,$$ (48)

onde os $n$ operadores hermiteanos $G_a$, agora finitos, são denominados geradores do grupo. Os geradores não são únicos, dependendo da escolha de parâmetros: transformações lineares reais e não-singulares dos parâmetros podem ser usadas para passar a um outro conjunto de geradores.

Seja $U(\delta\lambda)$ o operador de uma transformação infinitesimal. Submetendo-a a uma transformação unitária arbitrária, deve-se obter ainda uma transformação infinitesimal. Finalmente, devemos ter

$$U(\lambda)^{-1}G_a U(\lambda)=\sum_{b}u_{ab}(\lambda)G_b$$ (49)

onde os números $u_{ab}(\lambda)$ são reais. No espaço dos parâmetros podemos usar a notação matricial

$$U(\lambda)^{-1}GU(\lambda)=u(\lambda)G$$ (50)

Associada a esta, temos (aplicando $U$ à esquerda, $U^{-1}$ à direita):

$$G = u(\lambda)U(\lambda)GU(\lambda)^{-1}$$ (51)

$$U(\lambda)GU(\lambda)^{-1} = u^{-1}(\lambda)G$$ (52)

ou, finalmente,

$$U(\lambda)GU(\lambda)^{-1}=G\hat{u}$$ (53)

com

$$\hat{u}=\left(u^{-1}\right)^{t}$$ (54)

onde $a^{t}$ é a transposta da matriz $a$.

Note-se que, se as $u$ forem unitárias, temos

$$(u^{-1})^{t}=(u^\dagger)^{t}=(u^{*t})^{t}=u^*=u$$ (55)

de maneira que, para $u$ unitárias, $\hat{u}=u$.

As matrizes $u$ e $\hat{u}$ são representações do grupo unitário a $n$ parâmetros $U(\lambda)$. (Esta particular representação é denominada representação adjunta).De fato, a associação de $u$ (e $\hat{u}$) a um operador unitário $U$ é linear e preserva a multiplicação, pois

$$U(\lambda_1)^{-1}U(\lambda_2)^{-1}GU(\lambda_2)U(\lambda_1)= u(\lambda_2)u(\lambda_1)G$$ (56)

e

$$U(\lambda_2)U(\lambda_1)GU(\lambda_1)^{-1}U(\lambda_2)^{-1}= G\hat{u}(\lambda_2)\hat{u}(\lambda_1)$$ (57)

Como a matriz $\delta_{ab}$ está associada ao operador $1$, podemos escrever

$$u(\delta\lambda) = 1+i\sum_{a}\delta\lambda_a g_a$$ (58)

$$\hat{u}(\delta\lambda)=1+i\sum_{a}\delta\lambda_a \hat{g}_a$$ (59)

Comop $\hat{u}=(u^{t})^{-1}$, segue que

$$1-i\sum_{a}\delta\lambda_a\hat{g}_a^{t}=1+i\sum_a\delta\lambda_ag_a$$ (60)

ou

$$\hat{g}_a=-g_a^{t}$$ (61)

Se as matrizes $u$, $\hat{u}$ forem unitárias, $\hat{g}_a=g_a$.

Como se transforma $G_b$ por uma transformação infinitesimal unitária?

$$U(\delta\lambda)^{-1}GU(\delta\lambda)=(1-i\sum_a\delta\lamb... ...G(1+i\sum_b\delta\lambda_bG_b)=(1+i\sum_c\delta\lambda_c g_c)G$$ (62)

dando

$$i\delta\lambda_b\left[G,G_b\right]=i\delta\lambda_bg_bG$$ (63)

ou

$$\left[G,G_b\right]=g_bG=-G\hat{g}_b$$ (64)

Introduzindo a notação

$$(g_b)_{ac}=g_{abc}$$ (65)

temos

$$\left[G_a,G_b\right]=\sum_c(g_b)_{ac}G_c=\sum_cg_{abc}G_c$$ (66)

e daí se vê que

$$g_{abc}=-g_{bac}$$ (67)

Note-se que, no caso de $\hat{u}=u$, temos $\hat{g}_a=g_a=-g_a^{t}$, ou seja, $g_a$ é antissimétrica. Logo, neste caso, adicionalmente,

$$g_{abc}=-g_{cba}$$ (68)

e as ``constantes de estrutura'' são totalmente antissimétricas.

Como decorrência da correspondência (que preserva a multiplicação) entre $U(\lambda)$ e $u(\lambda)$ (e $\hat{u}(\lambda)$), as matrizes $g$ e $\hat{g}$ satisfazem as relações de comutação

$$\left[g_a,g_b\right] = \sum_c g_{abc} g_c$$ (69)

e

$$\left[\hat{g}_a,\hat{g}_b\right] = \sum_c g_{abc} \hat{g}_c$$ (70)

De fato, para o caso das $\hat{g}$, temos

$$U_2U_1GU_1^{-1}U_2^{-1}-U_1U_2GU_2^{-1}U_1^{-1}= G\left(\hat... ...\hat{u}(\lambda_2)\right)=-\left[G,\left[G_1,G_2\right]\right]$$ (71)

Mas,

$$\hat{u}(\lambda_2)\hat{u}(\lambda_1)-\hat{u}(\lambda_1)\hat{u}(\lambda_2) = \left(1+i\sum_a\delta_2\lambda_a \hat{g}_a\right)\left(1+i\sum_b\delta_1\lambda_b\hat{g}_b\right)$$ (72)

$$- \left(1+i\sum_b\delta_1\lambda_b\hat{g}_b\right) \left(1+i\sum_a\delta_2\lambda_a \hat{g}_a\right)$$

$$= -\sum_{a,b}\delta_2\lambda_a\delta_1\lambda_b\hat{g}_a\hat{g}_b +\sum_{a,b}\delta_1\lambda_b\delta_2\lambda_a\hat{g}_b\hat{g}_a$$

$$= +\sum_{a,b}\delta_1\lambda_b\delta_2\lambda_a\left[\hat{g}_a,\hat{g}_b\right]$$

Por outro lado,

$$\left[G,\left[G_1,G_2\right]\right] = \left[G,\left[1+i\sum_b\delta_1\lambda_b G_b,1+i\sum_a\delta_2\lambda_a G_a\right]\right]$$ (73)

$$= \left[G, -\sum_{b,a}\delta_1\lambda_b\delta_2\lambda_a\left[G_b,G_a\right]\right]$$

$$= -\sum_{b,a}\delta_1\lambda_b\delta_2\lambda_a\left[G,\left[G_b,G_a\right]\right]$$

$$= -\sum_{b,a}\delta_1\lambda_b\delta_2\lambda_a\left[G,\sum_cg_{abc}G_c\right]$$

$$= \sum_{a,b,c}\delta_1\lambda_b\delta_2\lambda_ag_{bac}G\hat{g}_c$$

Então

$$-G\sum_{a,b}\delta_1\lambda_b\delta_2\lambda_a\left[\hat{g}_a,\hat{g}_b\right]=g_{abc}\hat{g}_c$$ (74)

e

$$\left[\hat{g}_a,\hat{g}_b\right]=g_{abc}\hat{g}_c$$ (75)

Quod erat demonstrandum.
Essas relações, e suas parentes próximas

$$\left[g_a,g_b\right] = \sum_c g_{abc} g_c$$ (76)

podem ser escritas, por extenso, assim:

$$\sum_d\left\{g_{abd}g_{dce}+g_{bcd}g_{dae}+g_{cad}g_{dbe}\right\}=0$$ (77)

Uma outra forma, abreviada, é

$$\left[\left[G_a,G_b\right],G_c\right]+\left[\left[G_b,G_c\right],G_a\right]+\left[\left[G_c,G_a\right],G_b\right]=0$$ (78)

que é a identidade de Jacobi.

Vamos introduzir agora um procedimento eficiente para determinar as constantes de estrutura de um grupo unitário definido a partir de suas propriedades geométricas.

Pondo

$$U_{\left[12\right]} = 1+i\sum_a\delta_{\left[12\right]}\lambda_aG_a$$ (79)

$$U_1 = 1+i\sum_a\delta_1\lambda_a G_a$$ (80)

$$U_2 = !+i\sum_a \delta_2\lambda_a G_a$$ (81)

e usando a relação básica

$$U_{\left[12\right]}=U_2U_1U_2^{-1}U_1^{-1}$$ (82)

temos

$$1+i\sum_c\delta_{\left[12\right]}\lambda_cG_c = (1+i\sum_b\delta_2\lambda_b G_b)(1+i\sum_a\delta_1\lambda_a G_a)$$ (83)

$$\times (1-i\sum_m\delta_2\lambda_m G_m) (1-i\sum_n\delta_1\lambda_n G_n)$$

$$= 1+i^2\sum_{a,b}\delta_2\lambda_b G_b \delta_1 \lambda_a G_a - i^2 \sum_{b,n}\delta_2\lambda_b G_b \delta_1 \lambda_m G_m$$ (84)

$$- i^2\sum_{a,m}\delta_1\lambda_a \delta_2 \lambda_m G_a G_m + i^2 \sum_{m,n}\delta_2\lambda_m G_m \delta_1\lambda_n G_n$$

$$= 1 - \sum_{b,a}\left\{\delta_2\lambda_b \delta_1\lambda_a (G_b G_a - G_b G_a - G_a G_b + G_b G_a)\right\}$$

$$= 1 + \sum_{b,a}\delta_2\lambda_b \delta_1\lambda_a\left[G_a, G_b\right]$$

Assim,

$$i\sum_{c}\delta_{\left[12\right]}\lambda_c G_c=i\sum_{b,a,c}\delta_2 \lambda_b \delta_1\lambda_a \frac{1}{i}g_{abc}G_c$$ (85)

e, finalmente,

$$\delta_{\left[12\right]}\lambda_c=\sum_{a,b}\delta_1\lambda_a \delta_2 \lambda_b (\frac{1}{i})g_{abc}$$ (86)