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Transformações unitárias

Na mecânica quântica os estados, situações de máxima informação, são representados por vetores em um espaço complexo (bras $\langle\;\vert$ e kets $\vert\;\rangle$). As propriedades físicas são representadas por operadores lineares hermiteanos sobre este espaço. A liberdade existente na descrição física corresponde à liberdade de representação matemática associada a operadores unitários,
\begin{displaymath}
U^\dagger U = U U^\dagger =1
\end{displaymath} (1)

ou
\begin{displaymath}
U^\dagger = U^{-1}
\end{displaymath} (2)

Quando vetores e operadores são transformados na forma seguinte:
$\displaystyle \overline{\langle \;\;\vert}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \langle \;\;\vert U$ (3)
$\displaystyle \overline{\vert\;\;\rangle}$ $\textstyle =$ $\displaystyle U^{-1}\vert\;\;\rangle$ (4)
$\displaystyle \overline{X}$ $\textstyle =$ $\displaystyle U^{-1}XU$ (5)

todas as relações numéricas entre vetores e operadores são conservadas:
$\displaystyle \overline{\langle a^\prime}\overline{\vert b^\prime\rangle}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \langle
a^\prime\vert b^\prime\rangle$ (6)
$\displaystyle \overline{\langle a^\prime}\vert\overline{X}\vert\overline{b^\prime\rangle}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \langle a^\prime\vert X\vert b^\prime\rangle$ (7)

Também a relação
\begin{displaymath}
\langle a^\prime\vert= \vert a^\prime\rangle ^\dagger
\end{displaymath} (8)

é conservada:
\begin{displaymath}
\langle\overline{a^\prime}\vert=\langle a^\prime\vert U
\end{displaymath} (9)

e
\begin{displaymath}
\vert\overline{a^\prime}\rangle ^\dagger =
(U^{-1}\vert a^\prime\rangle)^\dagger=\langle a^\prime\vert U
\end{displaymath} (10)

logo,
\begin{displaymath}
\langle \overline{a^\prime}\vert = \vert\overline{a^\prime}\rangle^\dagger
\end{displaymath} (11)

Finalmente,
\begin{displaymath}
\overline{X}^\dagger=\left(U^{-1}XU\right)^\dagger = U^{-1}X^\dagger U
\end{displaymath} (12)

de maneira que se $X$ é hermiteano, $\overline{X}$ também o é.

Um conjunto completo de estados $\langle a^\prime\vert$ forma uma base do espaço de estados. Um vetor arbitrário $\vert\;\;\rangle$ é representado por suas componentes $\langle a^\prime\vert\;\;\rangle$ relativas a essa base. A expressão é:

\begin{displaymath}
\vert\;\;\rangle = \sum_{a^\prime}\vert a^\prime\rangle\langle
a^\prime\vert\;\;\rangle
\end{displaymath} (13)

e a relação $\sum_{a^\prime}\vert a^\prime\rangle\langle a^\prime\vert=1$ é a relação de completude (entre os físicos, ``completeza'').

A partir da base $\langle a^\prime\vert$ pode-se obter uma outra, $\langle \overline{a^\prime}\vert$, por uma trnasformação unitária

\begin{displaymath}
\langle\overline{a^\prime}\vert=\langle a^\prime\vert U
\end{displaymath} (14)

e as componentes do vetor $\vert\;\;\rangle$ serão
\begin{displaymath}
\langle \overline{a^\prime}\vert\;\;\rangle=\langle a^\prime\vert U\vert\;\;\rangle
\;\;,
\end{displaymath} (15)

que podem também ser interpretadas como as componentes, relativas à base inicial, do vetor $U\vert\;\;\rangle$. Analogamente,
\begin{displaymath}
\langle\overline{a^\prime}\vert X\vert\overline{a^{\prime
\p...
...e a^\prime\vert UXU^{-1}\vert a^{\prime \prime}\rangle \;
\; .
\end{displaymath} (16)

Suponhamos que sejam realizadas, sobre a base $\langle a\prime\vert$, primeiro uma transformação $U_{1}$, e a seguir uma $U_{2}$. Do ponto de vista ``ativo'', o vetor $\vert\;\;\rangle$ é levado em $U_{1}\vert\;\;\rangle$, e este em $U_{2}(U_{1}\vert\;\;\rangle)$. As componentes reagem assim:

\begin{displaymath}
\langle a^\prime\vert\;\;\rangle \rightarrow U_{1} \rightarr...
...} \rightarrow \langle
a^\prime\vert U_{2}U_{1}\vert\;\;\rangle
\end{displaymath} (17)

Esta transformação é produzida, em 1 passo, pelo operador $U_{2}U_{1}$ A ordem oposta das operações é efetuada pelo operador $U_1U_2$. Seja $U_{\left[12\right]}$ o operador que liga as duas ordens, ou seja,
\begin{displaymath}
U_{\left[12\right]}U_{1}U_{2}=U_{2}U_{1}
\end{displaymath} (18)

Naturalmente,
\begin{displaymath}
U_{\left[12\right]}=U_2U_1U_{2}^{-1}U_{1}^{-1}=U_{\left[21\right]}^{-1}
\end{displaymath} (19)

Chama-se transformação unitária infinitesimal uma transformação da forma
\begin{displaymath}
U=1+i\epsilon G
\end{displaymath} (20)

onde $\epsilon$ é um número muito pequeno e $G$ é hermiteano.Temos
\begin{displaymath}
U^\dagger=U^{-1}=1-i\epsilon G
\end{displaymath} (21)

No que se segue vamos, para aliviar a notação, supor $\epsilon$ incorporado a $G$. A transformação infinitesimal será, isto é, denotada por $1+iG$.

Suponhamos que $U_1$ e $U_2$ sejam tansformação infinitesimais unitárias. O operador $U_{\left[12\right]}$ associado a eles é também unitário. Como a combinação de um número finito de transformações infinitesimais deve ser uma transformação infinitesimal, deve existir $G_{\left[12\right]}$ hermiteano, tal que

\begin{displaymath}
U_{\left[12\right]}=1+iG_{\left[12\right]}
\end{displaymath} (22)

Qual é a relação entre $G_{\left[12\right]}$, $G_{1}$ e $G_{2}$? Como $U_{\left[12\right]}=U_{2}U_{1}U_{2}^{-1}U_{1}^{-1}$, segue que
\begin{displaymath}
U_{\left[12\right]}=(1+iG_{2})(1+iG_{1})(1-iG_{2})(1-iG_{1})
\end{displaymath} (23)


\begin{displaymath}
= +
iG_{2}+iG_{1}-iG_{2}-iG_{1}+i^2G_{2}G_{1}-i^2G_{2}G_{2}-i^2G_{1}G_{2}-i^2G_{2}G_{1}
-i^2G_{1}G_{1}+i^2G_{2}G_{2}
\end{displaymath}

ou
\begin{displaymath}
U_{\left[12\right]}=1+i^2\left(G_{2}G_{1}-G_{1}G_{2}\right) +
G_{1}G_{1}+G_{2}G_{2}
\end{displaymath} (24)

e, mantendo só os termos lineares,
\begin{displaymath}
U_{\left[12\right]}=1 + i\left(\frac{1}{i}\left[G_{1},G_{2}\right]\right)=1 + iG_{\left[12\right]}
\end{displaymath} (25)



Note que os termos $G_{1}^2$ e $G_{2}^2$ são de segunda ordem, e são cancelados se se escreve a contribuição completa té segunda ordem, que é

\begin{displaymath}
U_{\left[12\right]}=(1+iG_{2}+\frac{i^2}{2!}G_2G_2)(1+iG_1+\...
..._1)
(1-iG_2+\frac{i^2}{2!}G_2G_2)(1-iG_1+\frac{i^2}{2!}G_1G_1)
\end{displaymath} (26)

Desta maneira, obtemos
\begin{displaymath}
U_{\left[12\right]}=1+iG_{\left[12\right]}
\end{displaymath} (27)

com
\begin{displaymath}
G_{\left[12\right]}= -G_{\left[21\right]}=\frac{1}{i}\left[G_1,G_2\right]
\end{displaymath} (28)

que introduz o comutador $\left[G_1,G_2\right]$.

O efeito de uma transformação infinitesimal unitária sobre um operador é dado por

\begin{displaymath}
UXU^{-1}=(1+iG)X(1-iG)=X+iGX-iXG=X+\frac{1}{i}\left[X,G\right]
\end{displaymath} (29)

ou
\begin{displaymath}
UXU^{-1}=X+\delta X
\end{displaymath} (30)

com
\begin{displaymath}
\delta X=\frac{1}{i}\left[X,G\right] \;.
\end{displaymath} (31)

Da penúltima equação segue que
\begin{displaymath}
U^{-1}(UXU^{-1})U= U^{-1}XU+U^{-1}\delta XU
\end{displaymath} (32)

ou

\begin{displaymath}
X=U^{-1}XU+\delta X
\end{displaymath}

ou seja,
\begin{displaymath}
U^{-1}XU=X-\delta X
\end{displaymath} (33)

uponhamos que

\begin{displaymath}
U_1XU_1^{-1}=X + \delta_1 X
\end{displaymath} (34)

com
\begin{displaymath}
\delta_1 X=\frac{1}{i}\left[X,G_1\right]
\end{displaymath} (35)

Queremos calcular $U_2\delta_1 X U_2^{-1}$, onde $U_2=1+iG_2$ é outra transformação infinitesimal unitária. Temos
\begin{displaymath}
(1+iG_2)\frac{1}{i}\left[X,G_1\right](1-iG_2)=\frac{1}{i}\left[X,G_1\right]+
G_2\left[X,G_1\right]-\left[X,G_1\right]G_2
\end{displaymath} (36)

de maneira que
\begin{displaymath}
U_2\delta_1X U_2^{-1}=\delta_1X+\frac{1}{i}\left[\frac{i}{i}\left[X,G_1\right],G_2\right]
=\delta_1X +\delta_2\delta_1X
\end{displaymath} (37)

Mais geralmente,
\begin{displaymath}
U_2U_1XU_1^{-1}U_2^{-1}=U_2(X+\delta_1X)U_2^{-1}=
X+\delta_2X+\delta_1X +\delta_2\delta_1X
\end{displaymath} (38)

e, naturalmente,
\begin{displaymath}
U_1U_2XU_2^{-1}U_1^{-1}=X+\delta_2X+\delta_1X+\delta_1\delta_2X
\end{displaymath} (39)

Finalmente,
\begin{displaymath}
U_2U_1XU_1^{-1}U_2^{-1}-U_1U_2XU_2^{-1}U_1^{-1}=\delta_2\delta_1X
-\delta_1\delta_2X
\end{displaymath} (40)

Notando que
$\displaystyle U_2U_1$ $\textstyle =$ $\displaystyle U_{\left[12\right]}U_1U_2$ (41)
$\displaystyle U_1^{-1}U_2^{-1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle U_2^{-1}U_1^{-1}U_{\left[12\right]}^{-1}$ (42)

esta última relação pode ser escrita
\begin{displaymath}
U_{\left[12\right]}U_1U_2XU_2^{-1}U_1^{-1}U_{\left[12\right]}^{-1}-U_1U_2XU_2^{-1}U_1^{-1}
=\delta_{\left[12\right]}X
\end{displaymath} (43)

Obtém-se assim
\begin{displaymath}
\delta_{\left[12\right]}X=\delta_2\delta_1X-\delta_1\delta_2X
\end{displaymath} (44)

que, em termos de comutadores, é escrita:
\begin{displaymath}
\left[X,\left[G_2,G_1\right]\right]+\left[G_1,\left[X,G_2\right]\right]+\left[G_2,\left[G_1,X\right]\right]=0
\end{displaymath} (45)

que é a famosa identidade de Jacobi.

Consideremos agora um grupo de transformações unitárias de $n$ parâmetros $\lambda_a$, ($a=1,...,n$), abreviados por $\lambda$. Se $U_{\lambda_1}$ e $U_{\lambda_2}$ são operadores deste grupo, é necessário que

\begin{displaymath}
U(\lambda_2)U(\lambda_1)=U(\lambda)
\end{displaymath} (46)

onde $\lambda=\lambda(\lambda_1,\lambda_2)$ são os parâmetros de um outro elemento do grupo. Uma transformação infinitesimal do grupo, com parâmetros $\delta\lambda_a$, é construída a partir de
\begin{displaymath}
G=\sum_{a=1}^n\delta\lambda_a G_a
\end{displaymath} (47)

ou seja,
\begin{displaymath}
U=1+i\sum_{a=1}^n\delta\lambda_a G_a \; ,
\end{displaymath} (48)

onde os $n$ operadores hermiteanos $G_a$, agora finitos, são denominados geradores do grupo. Os geradores não são únicos, dependendo da escolha de parâmetros: transformações lineares reais e não-singulares dos parâmetros podem ser usadas para passar a um outro conjunto de geradores.

Seja $U(\delta\lambda)$ o operador de uma transformação infinitesimal. Submetendo-a a uma transformação unitária arbitrária, deve-se obter ainda uma transformação infinitesimal. Finalmente, devemos ter

\begin{displaymath}
U(\lambda)^{-1}G_a U(\lambda)=\sum_{b}u_{ab}(\lambda)G_b
\end{displaymath} (49)

onde os números $u_{ab}(\lambda)$ são reais. No espaço dos parâmetros podemos usar a notação matricial
\begin{displaymath}
U(\lambda)^{-1}GU(\lambda)=u(\lambda)G
\end{displaymath} (50)

Associada a esta, temos (aplicando $U$ à esquerda, $U^{-1}$ à direita):
$\displaystyle G$ $\textstyle =$ $\displaystyle u(\lambda)U(\lambda)GU(\lambda)^{-1}$ (51)
$\displaystyle U(\lambda)GU(\lambda)^{-1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle u^{-1}(\lambda)G$ (52)

ou, finalmente,
\begin{displaymath}
U(\lambda)GU(\lambda)^{-1}=G\hat{u}
\end{displaymath} (53)

com
\begin{displaymath}
\hat{u}=\left(u^{-1}\right)^{t}
\end{displaymath} (54)

onde $a^{t}$ é a transposta da matriz $a$.

Note-se que, se as $u$ forem unitárias, temos

\begin{displaymath}
(u^{-1})^{t}=(u^\dagger)^{t}=(u^{*t})^{t}=u^*=u
\end{displaymath} (55)

de maneira que, para $u$ unitárias, $\hat{u}=u$.

As matrizes $u$ e $\hat{u}$ são representações do grupo unitário a $n$ parâmetros $U(\lambda)$. (Esta particular representação é denominada representação adjunta).De fato, a associação de $u$ (e $\hat{u}$) a um operador unitário $U$ é linear e preserva a multiplicação, pois

\begin{displaymath}
U(\lambda_1)^{-1}U(\lambda_2)^{-1}GU(\lambda_2)U(\lambda_1)=
u(\lambda_2)u(\lambda_1)G
\end{displaymath} (56)

e
\begin{displaymath}
U(\lambda_2)U(\lambda_1)GU(\lambda_1)^{-1}U(\lambda_2)^{-1}=
G\hat{u}(\lambda_2)\hat{u}(\lambda_1)
\end{displaymath} (57)

Como a matriz $\delta_{ab}$ está associada ao operador $1$, podemos escrever

$\displaystyle u(\delta\lambda)$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1+i\sum_{a}\delta\lambda_a g_a$ (58)
$\displaystyle \hat{u}(\delta\lambda)=1+i\sum_{a}\delta\lambda_a \hat{g}_a$     (59)

Comop $\hat{u}=(u^{t})^{-1}$, segue que
\begin{displaymath}
1-i\sum_{a}\delta\lambda_a\hat{g}_a^{t}=1+i\sum_a\delta\lambda_ag_a
\end{displaymath} (60)

ou
\begin{displaymath}
\hat{g}_a=-g_a^{t}
\end{displaymath} (61)

Se as matrizes $u$, $\hat{u}$ forem unitárias, $\hat{g}_a=g_a$.

Como se transforma $G_b$ por uma transformação infinitesimal unitária?

\begin{displaymath}
U(\delta\lambda)^{-1}GU(\delta\lambda)=(1-i\sum_a\delta\lamb...
...G(1+i\sum_b\delta\lambda_bG_b)=(1+i\sum_c\delta\lambda_c g_c)G
\end{displaymath} (62)

dando
\begin{displaymath}
i\delta\lambda_b\left[G,G_b\right]=i\delta\lambda_bg_bG
\end{displaymath} (63)

ou
\begin{displaymath}
\left[G,G_b\right]=g_bG=-G\hat{g}_b
\end{displaymath} (64)

Introduzindo a notação
\begin{displaymath}
(g_b)_{ac}=g_{abc}
\end{displaymath} (65)

temos
\begin{displaymath}
\left[G_a,G_b\right]=\sum_c(g_b)_{ac}G_c=\sum_cg_{abc}G_c
\end{displaymath} (66)

e daí se vê que
\begin{displaymath}
g_{abc}=-g_{bac}
\end{displaymath} (67)

Note-se que, no caso de $\hat{u}=u$, temos $\hat{g}_a=g_a=-g_a^{t}$, ou seja, $g_a$ é antissimétrica. Logo, neste caso, adicionalmente,
\begin{displaymath}
g_{abc}=-g_{cba}
\end{displaymath} (68)

e as ``constantes de estrutura'' são totalmente antissimétricas.

Como decorrência da correspondência (que preserva a multiplicação) entre $U(\lambda)$ e $u(\lambda)$ (e $\hat{u}(\lambda)$), as matrizes $g$ e $\hat{g}$ satisfazem as relações de comutação

\begin{displaymath}
\left[g_a,g_b\right] = \sum_c g_{abc} g_c
\end{displaymath} (69)

e
\begin{displaymath}
\left[\hat{g}_a,\hat{g}_b\right] = \sum_c g_{abc} \hat{g}_c
\end{displaymath} (70)

De fato, para o caso das $\hat{g}$, temos
\begin{displaymath}
U_2U_1GU_1^{-1}U_2^{-1}-U_1U_2GU_2^{-1}U_1^{-1}=
G\left(\hat...
...\hat{u}(\lambda_2)\right)=-\left[G,\left[G_1,G_2\right]\right]
\end{displaymath} (71)

Mas,
$\displaystyle \hat{u}(\lambda_2)\hat{u}(\lambda_1)-\hat{u}(\lambda_1)\hat{u}(\lambda_2)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left(1+i\sum_a\delta_2\lambda_a
\hat{g}_a\right)\left(1+i\sum_b\delta_1\lambda_b\hat{g}_b\right)$ (72)
  $\textstyle -$ $\displaystyle \left(1+i\sum_b\delta_1\lambda_b\hat{g}_b\right)
\left(1+i\sum_a\delta_2\lambda_a \hat{g}_a\right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle -\sum_{a,b}\delta_2\lambda_a\delta_1\lambda_b\hat{g}_a\hat{g}_b
+\sum_{a,b}\delta_1\lambda_b\delta_2\lambda_a\hat{g}_b\hat{g}_a$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle +\sum_{a,b}\delta_1\lambda_b\delta_2\lambda_a\left[\hat{g}_a,\hat{g}_b\right]$  

Por outro lado,
$\displaystyle \left[G,\left[G_1,G_2\right]\right]$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left[G,\left[1+i\sum_b\delta_1\lambda_b
G_b,1+i\sum_a\delta_2\lambda_a G_a\right]\right]$ (73)
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left[G, -\sum_{b,a}\delta_1\lambda_b\delta_2\lambda_a\left[G_b,G_a\right]\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle -\sum_{b,a}\delta_1\lambda_b\delta_2\lambda_a\left[G,\left[G_b,G_a\right]\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle -\sum_{b,a}\delta_1\lambda_b\delta_2\lambda_a\left[G,\sum_cg_{abc}G_c\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \sum_{a,b,c}\delta_1\lambda_b\delta_2\lambda_ag_{bac}G\hat{g}_c$  

Então
\begin{displaymath}
-G\sum_{a,b}\delta_1\lambda_b\delta_2\lambda_a\left[\hat{g}_a,\hat{g}_b\right]=g_{abc}\hat{g}_c
\end{displaymath} (74)

e
\begin{displaymath}
\left[\hat{g}_a,\hat{g}_b\right]=g_{abc}\hat{g}_c
\end{displaymath} (75)

Quod erat demonstrandum.
Essas relações, e suas parentes próximas
\begin{displaymath}
\left[g_a,g_b\right] = \sum_c g_{abc} g_c
\end{displaymath} (76)

podem ser escritas, por extenso, assim:
\begin{displaymath}
\sum_d\left\{g_{abd}g_{dce}+g_{bcd}g_{dae}+g_{cad}g_{dbe}\right\}=0
\end{displaymath} (77)

Uma outra forma, abreviada, é
\begin{displaymath}
\left[\left[G_a,G_b\right],G_c\right]+\left[\left[G_b,G_c\right],G_a\right]+\left[\left[G_c,G_a\right],G_b\right]=0
\end{displaymath} (78)

que é a identidade de Jacobi.

Vamos introduzir agora um procedimento eficiente para determinar as constantes de estrutura de um grupo unitário definido a partir de suas propriedades geométricas.

Pondo

$\displaystyle U_{\left[12\right]}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1+i\sum_a\delta_{\left[12\right]}\lambda_aG_a$ (79)
$\displaystyle U_1$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1+i\sum_a\delta_1\lambda_a G_a$ (80)
$\displaystyle U_2$ $\textstyle =$ $\displaystyle !+i\sum_a \delta_2\lambda_a G_a$ (81)

e usando a relação básica
\begin{displaymath}
U_{\left[12\right]}=U_2U_1U_2^{-1}U_1^{-1}
\end{displaymath} (82)

temos
$\displaystyle 1+i\sum_c\delta_{\left[12\right]}\lambda_cG_c$ $\textstyle =$ $\displaystyle (1+i\sum_b\delta_2\lambda_b
G_b)(1+i\sum_a\delta_1\lambda_a G_a)$ (83)
  $\textstyle \times$ $\displaystyle (1-i\sum_m\delta_2\lambda_m G_m)
(1-i\sum_n\delta_1\lambda_n G_n)$  


  $\textstyle =$ $\displaystyle 1+i^2\sum_{a,b}\delta_2\lambda_b G_b \delta_1 \lambda_a G_a -
i^2 \sum_{b,n}\delta_2\lambda_b G_b \delta_1 \lambda_m G_m$ (84)
  $\textstyle -$ $\displaystyle i^2\sum_{a,m}\delta_1\lambda_a \delta_2 \lambda_m G_a G_m + i^2
\sum_{m,n}\delta_2\lambda_m G_m \delta_1\lambda_n G_n$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle 1 - \sum_{b,a}\left\{\delta_2\lambda_b \delta_1\lambda_a
(G_b G_a - G_b G_a - G_a G_b + G_b G_a)\right\}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle 1 + \sum_{b,a}\delta_2\lambda_b \delta_1\lambda_a\left[G_a, G_b\right]$  

Assim,
\begin{displaymath}
i\sum_{c}\delta_{\left[12\right]}\lambda_c G_c=i\sum_{b,a,c}\delta_2
\lambda_b \delta_1\lambda_a \frac{1}{i}g_{abc}G_c
\end{displaymath} (85)

e, finalmente,
\begin{displaymath}
\delta_{\left[12\right]}\lambda_c=\sum_{a,b}\delta_1\lambda_a \delta_2 \lambda_b
(\frac{1}{i})g_{abc}
\end{displaymath} (86)


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Henrique Fleming 2001-12-26