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Na mecânica quântica os estados, situações de máxima
informação, são representados por vetores em um espaço
complexo (bras e kets ).
As propriedades físicas são representadas por operadores
lineares hermiteanos sobre este espaço. A liberdade existente na
descrição física corresponde à liberdade de
representação matemática associada a operadores unitários,
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(1) |
ou
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(2) |
Quando vetores e operadores são transformados na forma seguinte:
todas as relações numéricas entre vetores e operadores são
conservadas:
Também a relação
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(8) |
é conservada:
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(9) |
e
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(10) |
logo,
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(11) |
Finalmente,
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(12) |
de maneira que se é hermiteano, também o é.
Um conjunto completo de estados
forma uma base do
espaço de estados. Um vetor arbitrário é
representado por suas componentes
relativas a essa base. A expressão é:
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(13) |
e a relação
é a relação de completude (entre os físicos,
``completeza'').
A partir da base
pode-se obter uma outra,
, por uma trnasformação unitária
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(14) |
e as componentes do vetor serão
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(15) |
que podem também ser interpretadas como as componentes, relativas à base
inicial, do vetor . Analogamente,
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(16) |
Suponhamos que sejam realizadas, sobre a base
,
primeiro uma transformação , e a seguir uma . Do
ponto de vista ``ativo'', o vetor é levado em
, e este em
. As
componentes reagem assim:
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(17) |
Esta transformação é produzida, em 1 passo, pelo operador
A ordem oposta das operações é efetuada pelo
operador . Seja
o operador que liga as duas ordens,
ou seja,
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(18) |
Naturalmente,
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(19) |
Chama-se transformação unitária infinitesimal uma
transformação da forma
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(20) |
onde é um número muito pequeno e é
hermiteano.Temos
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(21) |
No que se segue vamos, para aliviar a notação, supor
incorporado a . A transformação infinitesimal será, isto
é, denotada por .
Suponhamos que e sejam tansformação infinitesimais
unitárias. O operador
associado a eles é também
unitário. Como a combinação de um número finito de
transformações infinitesimais deve ser uma transformação
infinitesimal, deve existir
hermiteano, tal que
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(22) |
Qual é a relação entre
, e ?
Como
, segue que
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(23) |
ou
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(24) |
e, mantendo só os termos lineares,
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(25) |
Note que os termos e são de segunda ordem, e
são cancelados se se escreve a contribuição completa té
segunda ordem, que é
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(26) |
Desta maneira, obtemos
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(27) |
com
|
(28) |
que introduz o comutador
.
O efeito de uma transformação infinitesimal unitária sobre um
operador é dado por
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(29) |
ou
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(30) |
com
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(31) |
Da penúltima equação segue que
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(32) |
ou
ou seja,
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(33) |
uponhamos que
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(34) |
com
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(35) |
Queremos calcular
, onde é
outra
transformação infinitesimal unitária. Temos
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(36) |
de maneira que
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(37) |
Mais geralmente,
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(38) |
e, naturalmente,
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(39) |
Finalmente,
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(40) |
Notando que
esta última relação pode ser escrita
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(43) |
Obtém-se assim
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(44) |
que, em termos de comutadores, é escrita:
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(45) |
que é a famosa identidade de Jacobi.
Consideremos agora um grupo de transformações unitárias de
parâmetros , (), abreviados por .
Se e são operadores deste grupo, é
necessário que
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(46) |
onde
são os parâmetros de
um outro elemento do grupo. Uma transformação infinitesimal do
grupo, com parâmetros
, é construída a
partir de
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(47) |
ou seja,
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(48) |
onde os operadores hermiteanos , agora finitos, são
denominados geradores do grupo. Os geradores não são únicos,
dependendo da escolha de parâmetros: transformações lineares
reais e não-singulares dos parâmetros podem ser usadas para passar
a um outro conjunto de geradores.
Seja
o operador de uma transformação
infinitesimal. Submetendo-a a uma transformação unitária
arbitrária, deve-se obter ainda uma transformação
infinitesimal. Finalmente, devemos ter
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(49) |
onde os números
são reais. No espaço dos
parâmetros podemos usar a notação matricial
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(50) |
Associada a esta, temos (aplicando à esquerda, à
direita):
ou, finalmente,
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(53) |
com
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(54) |
onde é a transposta da matriz .
Note-se que, se as forem unitárias, temos
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(55) |
de maneira que, para unitárias, .
As matrizes e são representações
do grupo unitário a parâmetros . (Esta particular
representação é denominada representação adjunta).De
fato, a
associação de (e ) a um operador unitário é
linear e preserva a multiplicação, pois
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(56) |
e
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(57) |
Como a matriz está associada ao operador , podemos
escrever
Comop
, segue que
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(60) |
ou
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(61) |
Se as matrizes , forem unitárias, .
Como se transforma por uma transformação infinitesimal
unitária?
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(62) |
dando
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(63) |
ou
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(64) |
Introduzindo a notação
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(65) |
temos
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(66) |
e daí se vê que
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(67) |
Note-se que, no caso de , temos
,
ou seja, é antissimétrica. Logo, neste caso, adicionalmente,
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(68) |
e as ``constantes de estrutura'' são totalmente antissimétricas.
Como decorrência da correspondência (que preserva a
multiplicação) entre e (e
), as matrizes e satisfazem as
relações de comutação
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(69) |
e
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(70) |
De fato, para o caso das , temos
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(71) |
Mas,
Por outro lado,
Então
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(74) |
e
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(75) |
Quod erat demonstrandum.
Essas relações, e suas parentes próximas
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(76) |
podem ser escritas, por extenso, assim:
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(77) |
Uma outra forma, abreviada, é
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(78) |
que é a identidade de Jacobi.
Vamos introduzir agora um procedimento eficiente para determinar as
constantes de estrutura de um grupo unitário definido a partir de
suas propriedades geométricas.
Pondo
e usando a relação básica
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(82) |
temos
Assim,
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(85) |
e, finalmente,
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(86) |
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Henrique Fleming
2001-12-26