As equações

A descoberta, por Maxwell, de que a luz é uma onda eletromagnética, foi uma das mais importantes de toda a história da ciência. Neste capítulo veremos como, dentro da teoria de Maxwell, se descreve a reflexão e a refração da luz na passagem de um meio para outro, separados por um plano. Trata-se de um problema clássico, cuja solução era conhecida séculos antes de Maxwell. A teoria de Maxwell, ao reobter esses resultados, os enriquecerá, fornecendo uma descrição das intensidades com que os fenômenos em questão ocorrem, bem como importantes conseqüências, para eles, do caráter vetorial das ondas eletromagnéticas, ou seja, da polarização da luz. No tratamento clássico da refração, por exemplo, determina-se a direção do raio refratado (pela lei de Snell-Descartes), mas não se dá nenhuma informação sobre a intensidade da luz refratada em relação à intensidade da luz incidente.

As equações de Maxwell num meio simples, cujas propriedades eletromagnéticas podem ser sintetizadas nas constantes $\epsilon$ e $\mu$, são:

$$\vec{\nabla}.\vec{B} = 0$$ (1)

$$\vec{\nabla} .\vec{D} = 4\pi\rho$$ (2)

$$\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$ (3)

$$\vec{\nabla} \times \vec{H} = \frac{4\pi}{c}\vec{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$ (4)

onde $\rho$ e ${\vec{j}}$ são, respectivamente, as densidades de carga ``verdadeira'', isto é, cargas que não são de polarização, e correntes ``verdadeiras'', ou seja, que transportam cargas macroscopicamente (excluíndo-se, portanto, correntes eletrônicas, por exemplo). Das equações de Maxwell se obtêm equações de onda. Tomando o $rot$ da Eq.(3), tem-se:

$$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}\times\vec{\nabla} \times\vec{E} & = & -\frac{1}{c... ...pi}{c}\vec{j}+\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}) \end{eqnarray*}$$

Suponhamos que $\epsilon$ e $\mu$ sejam constantes, e que $\vec{j}=0$. Temos então, como
$\vec{\nabla}\times\vec{\nabla} \vec{E}=\vec{\nabla} ( \vec{\nabla} .\vec{E})-\vec{\nabla}^2\vec{E}$ e $\vec{\nabla} .\vec{E}=0$,

$$\vec{\nabla}^2\vec{E}=\frac{\mu}{c^2}\frac{\partial^2\vec{D}}{\partial t^2}$$ (5)

ou, usando $\vec{D}=\epsilon\vec{E}$,

$$\vec{\nabla}^2\vec{D}-\frac{\mu\epsilon}{c^2}\frac{\partial^2\vec{D}}{\partial t^2}=0$$ (6)

que mostra que se tem uma onda com velocidade de propagação dada por

$$v=\frac{c}{\sqrt{\epsilon\mu}}\; .$$ (7)

Um cálculo análogo para o campo magnético leva a

$$\vec{\nabla}^2\vec{H}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\vec{H}}{\partial t^2}=0$$ (8)

Nos meios transparentes, que são os que nos interessam neste capítulo, tem-se, em geral, $\mu\approx 1$. Por causa disso omitiremos $\mu$ das nossas fórmulas, a seguir.