Aplicações, ou mapeamentos

Nesta seção discutimos funções de $\mathbb{R}^n$ em $\mathbb{R}^m$. A observação fundamental sobre a função $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ é que ela pode ser completamente descrita por $m$ funções de $\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$.

7.1 Definição Dada uma função $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$, sejam $f_1$,...$f_m$ funções reais definidas em $\mathbb{R}^n$, tais que

$$F(\vec{p})=\left(f_1(\vec{P}),f_2(\vec{p}),...,f_m(\vec{p})\right)$$

para todo $\vec{p}$ de $\mathbb{R}^n$ . Essas funções chamam-se funções coordenadas euclideanas de $F$, e é costume escrever-se: $F=(f_1,f_2,...,f_m)$.

A função $F$ é diferenciável se suas funções coordenadas o forem. Uma função diferenciável $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ é chamada de mapeamento de $\mathbb{R}^n$ em $\mathbb{R}^m$. Note que $f_i=x_i\circ F$.

7.2 Definição Se $\alpha :I \rightarrow \mathbb{R}^n$ é uma curva em $\mathbb{R}^n$ e $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ é um mapeamento, então a função composta $\beta=F(\alpha):I\rightarrow \mathbb{R}^m$ é uma curva em $\mathbb{R}^m$ denominada imagem de $\alpha$ sob $F$.

7.3 Exemplo
(1) Considere o mapeamento $F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tal que

$$F=(x-y, x+y, 2z)$$

ou, mais precisamente,

$$F:(x,y,z) \mapsto (x-y, x+y,2z).$$

Este mapeamento é muito simples porque é linear. Neste caso é sabido que $F$ é completamente determinado pelos seus valores em três pontos linearmente independentes, como, por exemplo,

$$\bf {u}_1 = (1,0,0)$$

$$\bf {u}_2 = (0,1,0)$$

$$\bf {u}_3 = (0,0,1)$$

(2) O mapeamento $F:\mathbb{R}^2\mapsto\mathbb{R}^2$ tal que

$$F(u,v)=(u^2-v^2,2uv)$$

onde $u$ e $v$ são as funções coordenadas de $\mathbb{R}^2$. Para analisar este mapeamento, vamos examinar o seu efeito sobre a curva

$$\alpha(t)= (r\cos{t},r\sin{t}) \;\;\;0\leq t\leq 2\pi$$

Esta curva descreve, em sentido antihorário, um arco de cí rculo de raio $r$ com centro na origem. A curva imagem é

$$\beta(t) = F\left(\alpha(t)\right)=F(r\cos{t},r\sin{t})$$

$$= \left(r^2\cos^2{t}-r^2\sin^2{t},2 r^2\cos{t}\sin{t}\right)$$

Portanto,

$$\beta(t)=\left(r^2\cos{2t},r^2\sin{2t}\right) \;\;\; 0\leq t\leq 2\pi$$

Esta curva descreve dois arcos de cí rculo, em sentido antihorário, em torno da origem e de raio $r^2$.

Em linhas gerais, o cálculo diferencial aproxima objetos contí nuos por objetos lineares. Nesta linha, dado um mapeamento $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \rm$, vamos definir uma aproximação linear para ele, perto de um ponto $\vec{p}\in \mathbb{R}^n$.

É possí vel atingir todos os pontos de $\mathbb{R}^n$ através de retas $\alpha(t)=\vec{p}+tv$, partindo de $\vec{p}$ e escolhendo adequadamente $v$ e $t$. Da mesma forma $\mathbb{R}^n$ pode ser ``varrido'' pelas imagens de $\alpha$ por $F$, ou seja,

$$\beta(t)=F(\vec{P}+tv)$$

começando em $F(\vec{p})$. Vamos aproximar $F$ nas vizinhanças de $\vec{p}$ pelo mapeamento $F_*$, que leva cada velocidade inicial $\alpha^\prime(0) =v_p$ na velocidade inicial $\beta^\prime(0)$.

7.4 Definição Seja $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \rm$ um mapeamento. Seja $v_p$ um vetor tangente a $\mathbb{R}^n$ em $\vec{p}$, e denotemos por $F_*(v)$ a velocidade inicial da curva

$$t \mapsto F(\vec{p}+tv)$$

A função resultante $F_*$ leva vetores tangentes a $\mathbb{R}^n$ em vetores tangentes a $\rm$, e é chamada mapeamento tangente de $F$.

7.5 Proposição Seja $F=(f_1,f_2,...f_m)$ um mapeamento de $\mathbb{R}^n$ em $\rm$. Se $v$ é um vetor tangente a $\mathbb{R}^n$ em $\vec{p}$, então

$$F_*(v)=\left(v[f_1],...,v[f_m]\right) \;\;\; em\;\; F(\vec{p})$$

Prova: Vamos tomar $m=3$ para fixar as idéias. Então

$$\beta(t)=F(\vec{p}+tv)=\left(f_1(\vec{p}+tv), f_2(\vec{p}+tv),f_3(\vec{p}+tv)\right)$$

Por definição, $F_*(v)=\beta^\prime(0)$. Para obter $\beta^\prime(0)$, derivamos, em $t=0$, as funções coordenadas de $\beta$. Mas

$$\frac{d}{dt}\left(f_i(\vec{p}+tv)\right)_{t=0}=v[f_i]$$

Logo,

$$F_*(v)=\left(v[f_1],v[f_2],v[f_3]\right)_{\beta=0}$$

e $\beta (0)=F(\vec{p})$.

7.6 Corolário Se $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \rm$ é um mapeamento, então em cada ponto $\vec{p}$ de $\mathbb{R}^n$, o mapeamento tangente

$$F_{*\;p}:T_p(\mathbb{R}^n)\rightarrow T_{F(p)}(\rm )$$

é uma transformação linear.
Prova: Temos que mostrar que, para $v$, $w$, $a$, $b$ arbitrários,

$$F_*(av+bw)=aF_*(v)+bF_*(w)$$

$$F_8(av+bw) = \left((av+bw)[f_1],...(av+bw)[f_m]\right)$$

$$= \left(av[f_1]+bw[f_1],...,av[f_m]+bw[f_m]\right)$$

$$= a\left(v[f_1],...v[f_m]\right)+ b\left(w[f_1],...,w[f_m]\right)$$

$$= aF_*(v)+bF_*(w)$$

De fato, o mapeamento tangente $F_{*\;p}$ em $\vec{p}$ é a transformação linear que melhor aproxima $F$ nas vizinhanças de $\vec{p}$.

7.7 Corolário Seja $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \rm$ um mapeamento. Se $\beta =F(\alpha)$ é a imagem da curva $\alpha$ em $\mathbb{R}^n$, então $\beta^\prime=F_{*}(\alpha^\prime)$.
Prova:

$$m = 3$$

$$F = F(\alpha)=(f_1(\alpha),f_2(\alpha),f_3(\alpha))$$

$$F_*(\alpha^\prime) = \left(\alpha^\prime[f_1],\alpha^\prime[f_2], \alpha^\prime[f_3]\right)$$

Mas

$$\alpha^\prime[f_i]=\frac{df_i(\alpha)}{dt}\;,$$

logo,

$$F_*(\alpha^\prime)=\left(\frac{df_1(\alpha)}{dt}(t),\frac{df_2(\alpha)}{dt}(t), \frac{df_3(\alpha)}{dt}(t)\right)_{\beta(t)}=\beta^\prime(t)$$

Sejam $\{U_j\}$, $(1 \leq j \leq n)$ e $\{\overline{U}_i\}$, $(1 \leq i \leq m)$ os referenciais naturais de $\mathbb{R}^n$ e $\rm$ respectivamente. Então,

7.8 Corolário Se $F=(f_1,...,f_m)$ é um mapeamento de $\mathbb{R}^n$ em $\rm$, então

$$F_*\left(U_j(\vec{p})\right)=\sum_{i=1}^{m}\frac{\partial f_i}{\p... ...al x_j}(\vec{p})\overline{U}_i\left(F(\vec{p})\right) \;\;\; (1 \leq j \leq n)$$

Dem: Imediata, lembrando que $U_i[f_j]=\frac{\partial f_j} {\partial x_i}$.

Seja $V$ um espaç o vetorial, com base $\{e_i\}$. Seja $W$ um outro espaç o vetorial, com base $\{f_i\}$. Seja $T:V\rightarrow W$ linear. Chama-se elementos de matriz de $T$ em relação às bases $\{e_i\}$ e $\{f_i\}$ os números $T_{ji}$ na equação

$$TE_i=\sum_{j}T_{ji}f_j$$

Logo, o Corolário 7.8 nos diz que, se $F(f_1,...,f_m)$, os elementos de matriz de $f_*$ em relação aos referenciais naturais de $\mathbb{R}^n$ e $\rm$ são, no ponto $\vec{p}$, os números $\frac{\partial f_i}{\partial x^j} (\vec{p})$. Ou seja, a matriz que representa a transformação linear $F_*$ nessas bases é a matriz jacobiana da função $F$. Isto nos sugere outro nome para $F_*$: derivada de $F$.

7.9 Definição Um mapeamento $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \rm$ é regular se, para todo $\vec{p}\in \mathbb{R}^n$, o mapeamento tangente $F_{*p}$ for $(1-1)$ (injetor).¹¹

Como mapeamentos tangentes são lineares, segue diretamente da álgebra linear que as seguintes condições são equivalentes:
(1) $F_{*p}$ é injetora.
(2) $F_*(v_p)=0 \Rightarrow v_p=0$
(3) A matriz jacobiana de $F$ em $\vec{p}$ tem posto $n$ (que é a dimensão de $\mathbb{R}^n$).

A seguinte propriedade de transformações lineares $T:V\rightarrow W$ será útil:se os espaç os vetoriais $V$ e $W$ têm a mesma dimensão, então $T$ é injetora se e só se ela for sobrejetora.

Um mapeamento que tem um mapeamento inverso é chamado de difeomorfismo. Lembre-se de que estamos exigindo de um mapeamento que seja diferenciável. Quando considerarmos aplicações mais gerais, um difeomorfismo será uma aplicação diferenciável que possui uma inversa também diferenciável.

7.10 Teorema: Seja $F:\mathbb{R}^n \rightarrow \rm$ um mapeamento entre espaç os euclideanos de mesma dimensão. Se $F_{*p}$ é injetora em um ponto $\vec{p}$, existe um aberto $\mathcal{A}$ contendo $\vec{p}$ tal que a restrição de $F$ a $\mathcal{A}$ é um difeomorfismo de $\mathcal{A}$ sobre um aberto $\mathcal{B}$.

Este teorema, de demonstração difí cil, é chamado de teorema da função inversa.

7.11 Definição Funções tangentes.

Seja $A\subset \mathbb{R}^n$ um aberto; $x_0$ um ponto de $A$ e

$$f,g:A\rightarrow \rm$$

contínuas em $A$. Diz-se que $f$ e $g$ são tangentes em $x_0$ se
(1) $f(x_0)=g(x_0)$
(2) $lim_{x \rightarrow x_0;x \neq x_0}\frac{\Vert f(x)-g(x)\Vert} {\Vert x - x_0 \Vert}=0$
onde $\Vert z\Vert$ é a norma do vetor $z$ (por exemplo, a norma euclideana).

O nome se justifica. Tomemos, para simplificar, o caso em que $n=m$. Então o limite da definição diz que, se $f$ e $g$ são tangentes em $x_0$, teremos, próximo a $x_0$,

$$f(x) = f(x_0)+(x-x_0)a$$

$$g(x) = g(x_0)+(x-x_0)b$$

e, para que $\frac{\Vert f(x)-g(x)\Vert}{\Vert x-x_0\Vert}=0$, é preciso que $a=b$. Ou seja, nas vizinhanças de $x_0$, as funções tangentes diferem só a partir da segunda ordem em $\Vert x-x_0\Vert$.

7.12 Proposição Suponhamos que, dentre as funções tangentes, em $x_0$, à função $f$, existam duas funções lineares, $u_1$ e $u_2$. Isto é, suponhamos que

$$x \mapsto f(x_0)+u_1(x-x_0)$$

$$x \mapsto f(x_0)+u_2(x-x_0)$$

sejam tangentes a $f$ em $x_0$. Então, $u_1=u_2$.
Prova:
(1)$u_1$ é tangente a $u_2$ (trivial).
(2) Temos, então,

$$lim_{x\rightarrow x_0;\; x\neq x_0} \frac{\Vert f(x_0)+u_1(x-x_0)-f(x_0)-u_2(x-x_0)\Vert}{\Vert x-x_0\Vert} =$$ 0

$$lim_{x\rightarrow x_0;\; x\neq x_0}\frac{\Vert(u_1-u_2)(x-x_0)\Vert} {\Vert x-x_0\Vert} =$$ 0

Introduzo $y=x-x_0$ e $v=u_1-u_2$. Então,

$$lim_{y\rightarrow 0;\;y\neq 0}\frac{\Vert v(y)\Vert}{\Vert y\Vert}=0$$

Isto quer dizer que, para qualquer $\epsilon > 0$, existe $r>0$ tal que, se $\Vert y\Vert\leq r$,

$$\Vert v(y)\Vert < \epsilon \Vert y\Vert$$ (242)

Considere a seguinte escolha de $y$:

$$y=r\frac{x}{\Vert x\Vert}$$

onde $x$ é um vetor não-nulo qualquer. Temos

$$\Vert y\Vert = \frac{r}{\Vert x\Vert}\Vert x\Vert=r \leq r$$

$$v(y) = \frac{r}{\Vert x\Vert}v(x)$$

e a Eq.(242) vale. Logo,

$$\frac{r}{\Vert x\Vert}\Vert v(x)\Vert < \epsilon r$$

$$\Vert v(x)\Vert < \epsilon \Vert x\Vert$$

ou ainda

$$\frac{\Vert v(x)\Vert}{\Vert x\Vert} < \epsilon$$

para $\epsilon$ arbitrário e para todo $x \neq 0$. Para $x=0$, temos $v(x)=0$. Para $x$ não-nulo, a desigualdade de cima exige $v(x)=0$.¹² Logo, $v(x)=0$ para todo $x$. Segue que $v=0$, ou, $u_1=u_2$. Em conseqüência a aplicação linear tangente a uma função contínua em $x_0$, se existir, é única.

7.14 Definição Dizemos que uma aplicação contínua $f$ de $A\subset \mathbb{R}^n$ em $\rm$ é diferenciável no ponto $x_0\in A$ se existir uma aplicação linear $u$ de $\mathbb{R}^n \rightarrow \rm$ tal que $x \mapsto f(x_0)+u(t=t_0)$ seja tangente a $f$ em $x_0$. Acabamos de ver que esse mapeamento, quando existe, é único. $u$ é denominado derivada de $f$ no ponto $x_0$, e é denotado por $f^\prime(x_0)$ ou $Df(x_0)$.

Exemplos:
1.A aplicação $(x,y)\mapsto x$, de $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^1$ é diferenciável. Por que? Qual é a sua diferencial?
A função pode ser escrita $f(x,y)=x$. Ela é linear, pois

$$f[(x,y)+(\overline{x},\overline{y})] = f[(x+\overline{x}, y+\overline{y})]=x+\overline{x}=f(x,y)+f(\overline{x},\overline{y})$$

$$f[\lambda(x,y)] = f[(\lambda x,\lambda y)]=\lambda x = \lambda f(x,y)$$

Como $f$ é linear, ela coincide com a derivada. Então, $Df=f$.
2. $(x,y)\mapsto (x^2,y^2)$. Determinar a diferencial.

$$\Vert\left((x+h)^2,(y+k)^2\right)-(x^2,y^2)-u(h,k)\Vert =$$

$$\Vert(x^2+2hx+h^2,y^2+2kx+k^2)-(x^2,y^2)-u(h,k)\Vert= =$$

$$\Vert(2hx+h^2,2ky+k^2)-u(h,k)\Vert$$

Para ser mais explí cito, vou denotar $u$ por $u_{(x,y)}$. Considere a aplicação

$$u_{(x,y)}.(h,k)=(2xh,2yk)$$

Então temos

$$\Vert(2hx+h^2,2ky+k^2)-(2xh,2yk)\Vert=\Vert(h^2,k^2)\Vert=\sqrt{h^4+k^4}$$

Para que $u_{(x,y)}$ seja a derivada de $f$ em $(x,y)$ devemos ter

$$\Vert f(x+h,y+k)-f(x,y)-u_{(x,y)}(h,k)\Vert\leq \epsilon\sqrt{h^2+k^2}$$

ou seja, que

$$\sqrt{H^4+k^4} \leq \sqrt{h^2+k^2}$$

nolimite em que $\sqrt{h^2+k^2}$ é suficientemente pequeno. Isto é claramente possível, pois, para $h$ e $k$ suficientemente pequenos,

$$\sqrt{h^4+k^4} < \sqrt{h^2+k^2}$$

Resta verificar, o que é muito simples e pode ser feito pelo leitor, que $u_{(x,y)}$ é linear. Uma vez que $u_{(x,y)}.(h,k)=(2xh,2yk)$ é linear, podemos calcular seus elementos de matriz. Estes são obtidos aplicando $u_{(x,y)}$ aos vetores de base de $\mathbb{R}^2$:

$$u_{(x,y)}(1,0) = 2x$$

$$u_{(x,y)}(0,1) = 2y$$

Note-se que $f(x,y)=(x^2,y^2)=(f_1(x,y),f_2(x,y))$, logo,

$$f_1(x,y) = x^2$$

$$f_2(x,y) = y^2$$

The partial derivatives of $f_1$ and $f_2$ are given by

$$\frac{\partial f_1}{\partial x} = 2x$$

$$\frac{\partial f_1}{\partial y} =$$ 0

$$\frac{\partial f_2}{\partial x} =$$ 0

$$\frac{\partial f_2}{\partial y} = 2y$$

Como podemos escrever

$$u_{(x,y)}.(1,0) = 2x(1,0)+0(0,1)$$

$$u_{(x,y)}.(0,1) = 0(1,0)+2y(0,1)$$

segue, usando os valores das derivadas parciais, que

$$u_{(x,y)}(1,0) = \frac{\partial f_1}{\partial x}(1,0)+ \frac{\partial f_1}{\partial y}(0,1)$$

$$u_{(x,y)}(0,1) = \frac{\partial f_2}{\partial x}(1,0)+ \frac{\partial f_2}{\partial y}(0,1)$$

de onde fica claro que as derivadas parciais são os elementos de matriz de $u_{(x,y)}$.
3. $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, dada por $x\mapsto e^{x}$

$$\Vert f(x+h)-f(x)-u_x.h\Vert = \Vert e^{x+h}-e^x-u_x.h\Vert$$

$$= \Vert e^x(1+h)-e^x-u_x.h\Vert$$

$$= \Vert e^x+he^x-e^x-u_x.h\Vert$$

$$= \Vert he^x-u_x.h\Vert$$

Para que isto se anule devemos ter

$$u_x.h=e^x.h$$

ou seja, a derivada de $e^x$ é a função linear

$$h\mapsto e^x.h$$

Normalmente dizemos que a derivada da função $x\mapsto e^x$ no ponto $x$ é o número $e^x$. Isto não é inconsistente. De fato, no espaço vetorial $\mathbb{R}$, de uma dimensão, seja $U_{1}$ o vetor da base natural (neste caso, $U_{1}$ é o número real 1!), e $T$ uma aplicação linear qualquer. Seja $v=vU_{1}$ um vetor de $\mathbb{R}$. Denotemos $T(U_{1})$ por $f$. Temos

$$T(v) = T(vU_{1})=vT(U_{1})=vf=vfU_{1}=fvU_{1}=fv$$

$$T(w) = T(wU_{1})=wT(U_{1})=wf=wfU_{1}=fwU_{1}=fw$$

ou seja, uma aplicação linear $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ consiste sempre em multiplicar o vetor sobre o qual ela atua por um número, característico da aplicação, podendo-se então identificar cada aplicação linear com um número. Na análise clássica chama-se a esse número de derivada.

7.15 Continuidade de uma aplicação linear Sejam $E$ e $F$ espaços vetoriais com normas definidas e $u$ uma aplicação linear de $E$ em $F$. Afim de que $u$ seja contínua, é necessário e suficiente que exista $a>0$ tal que, para todo $x\in E$,

$$\Vert u(x)\Vert\leq a\Vert x\Vert$$

Dem;Elon Lages Lima, Análise Matemática II

7.16 Teorema Se a aplicação contínua $f$ de $A\subset \mathbb{R}^n$ em $\mathbb{R}^m$ é diferenciável no ponto $x_0\in A$, a derivada $f^\prime(x_0)$ é uma aplicação linear contínua de $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$.
Dem:A continuidade de $f$ significa que, dado $\epsilon > 0$, existe $r\in [0,1]$ tal que

$$\Vert t\Vert \leq \Rightarrow \Vert f(x_0+t)-f(x_0)\Vert \leq \frac{\epsilon}{2}$$

A diferenciabilidade em $x_0$ exige que, nas mesmas condições,

$$\Vert f(x_0+t)-f(x_0)-u(t)\Vert\leq \frac{\epsilon}{2}\Vert t\Vert$$

Ora,

$$\Vert u(t)\Vert=\Vert u(t)-f(x_0+t)+f(x_0)+f(x_0+t)-f(x_0)\Vert \leq$$

$$\leq \Vert f(x_0+t)-f(x_0)-u(t)\Vert+\Vert f(x_0+t)-f(x_0)\Vert$$

logo,

$$\Vert u(t)\Vert \leq \frac{\epsilon}{2}\Vert t\Vert+\frac{\epsilon}{2}$$

e, tomando o máximo $\Vert t\Vert$,

$$\Vert u(t)\Vert\leq \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}$$

Conseqüentemente,

$$\Vert t\Vert\leq r \Rightarrow \Vert u(t)\Vert\leq \epsilon$$

Tomando $t=r\frac{x}{\Vert x\Vert}$, com $x \neq 0$ qualquer, temos $\Vert t\Vert=r \leq r$. Logo, $\Vert u(t)\Vert\leq \epsilon$. Mas

$$\Vert u(t)\Vert=\Vert u\left(\frac{rx}{\Vert x\Vert}\right)\Vert=\frac{r}{\Vert x\Vert}\Vert u(x)\Vert\leq \epsilon$$

Logo,

$$\Vert u(x)\Vert \leq \frac{\epsilon}{r}\Vert x\Vert$$

para todo $x$. A função $u$ é, então, contínua.

7.17 Teorema A regra da cadeia.

Sejam $E$,$F$,$G$ três espaços vetoriais normados, $A$ uma vizinhança aberta de $x_0 \in E$, $f$ uma aplicação contínua de $A$ em $F$, $y_0=f(x_0)$, $B$ uma vizinhança aberta de $y_0$ em $F$, $g$ uma aplicação contínua de $B$ em $G$. Então, se $f$ é diferenciável em $x_0$ e $g$ é diferenciável em $y_0$, a aplicação $h=g\circ f$ é diferenciável em $x_0$, e se tem

$$h^\prime(x_0)=g^\prime(y_0)\circ f^\prime(x_0)$$

Dem:Too boring inequality juggling! (Dieudonné, Foundations of Modern Analysis, Parágrafo (8.2.1), pg.151.)[17]