Formas diferenciais

As 1-formas são membros de uma família maior, a das formas diferenciais. Existem 2-formas, 3-formas, etc. De uma maneira informal, uma forma diferencial é uma soma de termos da forma $f dx_i dx_j$, ou $g dx_i dx_j dx_k$, onde o produto das diferenciais satisfaz a regra de alternação:

$$dx_i dx_j = - dx_j dx_i \;\;\;\;(1 \leq i\;,j \leq 3)$$

Como conseqüência desta regra, temos

$$dx_i dx_i=0$$

Catálogo:

0-forma: $f$ (função diferenciável)
1-forma: $f dx+g dy+h dz$
2-forma: $fdx dy+gdx dz+h dydz$
3-forma: $f dx dy dz$

Em $\mathbb{R}^3$ não há outros tipos de formas. Vamos introduzir operações envolvendo formas. Já sabemos somar 1-formas:

$$\sum_i f_i dx_i + \sum_i g_i dx_i = \sum_i(f_i+g_i)dx^i$$

Adições correspondentes existem para 2-formas e 3-formas.
Multiplicação de formas: se faz usando a regra da alternação. Para ressaltar as propriedades desse produto especial, vamos passar a denotar o produto $dx dy$, por exemplo, por $dx\wedge dy$.

Exemplo
(1) Sejam

$$\phi = x dx-y dy$$

$$\psi = z dx + x dz$$

Então,

$$\phi \wedge \psi = (x dx - y dy)\wedge (z dx + x dz)$$

$$= xz dx\wedge dx + x^2dx\wedge dz -yzdy\wedge dx-yxdy\wedge dz$$

$$= x^2 dx\wedge dz -yz dy\wedge dx -yx dy\wedge dz$$

$$= x^2 dx\wedge dz + yz dx \wedge dy -yx dy\wedge dz$$

De uma maneira geral, o produto de duas 1-formas é uma 2-forma.

(2) Sejam $\phi$ e $\psi$ como acima, e $\theta = z dy$. Então

$$\theta\wedge \phi\wedge \psi = zdy\wedge (x^2 dx\wedge dz+yz dx\wedge dy-yx dy\wedge dz)$$

$$= x^2z dy\wedge dx\wedge dz + z^2 y dy\wedge dx\wedge dy- xyz dy\wedge dy\wedge dz$$

Mas $dy\wedge dx\wedge dy=-dy\wedge dy\wedge dx=0$ e $dy\wedge dy\wedge dz=0$ Logo,

$$\theta\wedge \phi \wedge \psi=-x^2z dx\wedge dy\wedge dz$$

Seja $\phi$ como acima, e seja $\eta$ a 2-forma $ydx\wedge dz + x dy\wedge dz$. Temos

$$\phi\wedge\eta = (x dx-y dy)\wedge(y dx\wedge dz+x dy\wedge dz)$$

$$= yx dx\wedge dx \wedge dz+x^2 dx\wedge dy\wedge dz-y^2 dy\wedge dx\wedge dz -yx dy\wedge dy\wedge dz$$

$$= x^2 dx\wedge dy\wedge dz-y^2 dy\wedge dx \wedge dz$$

$$= (x^2+y^2) dx\wedge dy\wedge dz$$

6.2 Lema Se $\phi$ e $\psi$ são 1-formas, então

$$\phi \wedge \psi = - \psi \wedge \phi$$

Dem: Trivial.

6.3 Definição Se $\phi=\sum_i f_i dx^i$ é uma 1-forma em $\mathbb{R}^3$, a derivada exterior de $\phi$ é a 2-forma

$$d\phi = \sum_i df_i\wedge dx^i$$

onde $df_i$ é a diferencial da função $f_i$.

Seja $\phi=f_1 dx_1+f_2 dx^2+f_3vdx^3$. Então,

$$d\phi=df_1\wedge dx^1+df_2\wedge dx^2+df_3\wedge dx^3$$

Mas,

$$df_1 = \frac{\partial f_1}{\partial x^1}dx^1+ \frac{\partial f_1}{\partial x^2}dx^2+\frac{\partial f_1}{ \partial x^3}dx^3$$

$$df_2 = \frac{\partial f_2}{\partial x^1}dx^1+ \frac{\partial f_2}{\partial x^2}dx^2+\frac{\partial f_2}{ \partial x^3}dx^3$$

$$df_3 = \frac{\partial f_3}{\partial x^1}dx^1+ \frac{\partial f_3}{\partial x^2}dx^2+\frac{\partial f_3}{ \partial x^3}dx^3$$

$$d\phi = \left( \frac{\partial f_1}{\partial x^1}dx^1+ \frac{\partial f_1}{\partial x^2}dx^2+\frac{\partial f_1}{ \partial x^3}dx^3\right)\wedge dx^1 +$$

$$+ \left( \frac{\partial f_2}{\partial x^1}dx^1+ \frac{\partial f_2}{\partial x^2}dx^2+\frac{\partial f_2}{ \partial x^3}dx^3\right)\wedge dx^2+$$

$$+ \left(\frac{\partial f_3}{\partial x^1}dx^1+ \frac{\partial f_3}{\partial x^2}dx^2+\frac{\partial f_3}{ \partial x^3}dx^3\right)\wedge dx^3$$

Expandindo e levando em conta as regras do produto exterior, temos

$$d\phi=\left(\frac{\partial f_2}{\partial x^1}-\frac{\partial f_1}... ...al f_3}{\partial x^1}-\frac{\partial f_1}{\partial x^3} \right)dx^1\wedge dx^3$$

6.4 Teorema Sejam $f$ e $g$ funções, $\phi$ e $\psi$ 1-formas.
(1) $d(fg)=(df)g+f(dg)$
(2) $d(fg)=df\wedge \phi + f d\phi$
(3) $d(\phi \wedge \psi) = d\phi \wedge \psi - \phi\wedge d\psi$

Dem: (1) e (2) são muito simples e ficam como exercícios.
(3) É suficiente provar a fórmula para $\phi = f d\mu$ e $\psi=g d\nu$, onde $\mu$ e $\nu$ são quaisquer das coordenadas $x_1$, $x_2$, $x_3$. Por exemplo, $\phi=f dx$, $\psi=g dy$. Então,

$$d(\phi \wedge \psi) = d(fg dx\wedge dy)$$

$$= \frac{\partial(fg)}{\partial x} dx\wedge dx \wedge dy + \frac{\pa... ... dy \wedge dx \wedge dy + \frac{\partial (fg)}{\partial z} dz\wedge dx\wedge dy$$

$$= \frac{\partial (fg)}{\partial z}dx \wedge dy\wedge dz$$

$$= \left[\frac{\partial f}{\partial z}g+f\frac{\partial g}{\partial z}\right] dx \wedge dy \wedge dz$$

Mas

$$d\phi \wedge \psi = \left(\frac{\partial f}{\partial y} dy \wedge dx + \frac{\partial f}{\partial z} dz \wedge dx\right) \wedge g dy$$

$$= \frac{\partial f}{\partial z} g dz\wedge dx\wedge dy$$

$$\phi \wedge d\psi = f dx\wedge \left(\frac{\partial g}{\partial x} dx\wedge dy+\frac{\partial g}{\partial z}dz\wedge dy\right)$$

$$= f\frac{\partial g}{\partial z} dx\wedge dz\wedge dy$$

$$= -f\frac{\partial g}{\partial z}dx\wedge dy\wedge dz$$

o que prova (3).