1-Formas

Seja $f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$. Elementarmente usa-se definir a diferencial de $f$ como

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz$$

sem esclarecer o que esta expressão formal significa. A seguir daremos um significado preciso à noção de diferencial de uma função.

5.1 Definição Uma 1-forma em $\mathbb{R}^3$ é uma função real $\phi$ (isto é, a valores reais) sobre o conjunto dos vetores tangentes a $\mathbb{R}^3$, tal que $\phi$ é linear em cada ponto, isto é,

$$\phi(av+bw)=a\phi(v)+b\phi(w)$$

para quaisquer números $a, b$ e quaisquer vetores tangentes $\vec{v},w$ em um ponto arbitrário de $\mathbb{R}^3$. Assim, dada $\phi$, $\phi(v$ é um número. No ponto $\vec{p}$, ponto de aplicação de $v$, a função

$$\phi_p: T_p(\mathbb{R}^3)\rightarrow \mathbb{R}$$

é linear. Então, em cada ponto $\vec{p}$, $\phi_p$ é um elemento do espaço dual de $T_p(\mathbb{R}^3)$. Neste sentido, a noção de 1-forma é dual à de campo vetorial.

A soma de 1-formas $\phi$ e $\psi$ é definida ponto-a-ponto:

$$(\phi+\psi)(v)=\phi(v)+\psi(v)$$

para todo $v$ em $T_p(\mathbb{R}^3)$. De modo semelhante, se $f$ é uma função real em $\mathbb{R}^3$ e $\phi$ é uma 1-forma, então a 1-forma $f\phi$ é definida assim:

$$(f\phi)(v_p)=f(\vec{p})\phi(v_p)$$

para todos os vetores tangentes $v_p$.

Daí decorre uma maneira natural para calcular a ação de uma 1-forma $\phi$ sobre um campo vetorial $V$, dando uma função real $\phi(V)$:

$$\left(\phi(V)\right)(\vec{p})=\phi\left(V(\vec{p})\right)$$

Pode-se então interpretar também uma 1-forma como uma máquina que converte campos vetoriais em funções reais. Diz-se que $\phi$ é diferenciável quando $\phi(V)$ é diferenciável para qualquer $V$ diferenciável. A partir de agora vamos sempre supor que as 1-formas, bem como os campos vetoriais, são diferenciáveis. As seguintes propriedades da linearidade valem:

$$\phi(fV+gW) = f\phi(V)+g\phi(W)$$

$$(f\Phi+g\psi)(V) = f\phi(V)+g\psi(V)$$

onde $f$ e $g$ são funções.

Usando a noção de derivada direcional vamos introduzir agora uma maneira muito importante de construir !-formas a partir de funções.

5.2 Definição Seja $f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$ diferenciável. A diferencial $df$ de $f$ é uma 1-forma tal que

$$df(v_p)=v_p[f]$$

para todos os vetores tangentes $v_p$.

Comentário: A $df$ assim definida é efetivamente uma 1-forma, pois é uma função a valores reais sobre os vetores tangentes e que, pela parte (1) do teorema 3.3, é linear em cada ponto $\vec{p}$. Note-se que $df$ sabe como $f$ varia em todas as direções de $\mathbb{R}^3$, o que dá uma medida de sua potência.

5.3 Exemplos 1-formas em $\mathbb{R}^3$ .
(1) As diferenciais $dx_1$,$dx_2$,$dx_3$ das funções coordenadas naturais.

$$dx_i(v_p)=v_p[x_i]=\sum_jv_j\frac{\partial x_i}{\partial x_j}(\vec{p})= \sum_j v_j\delta_{ij}=v_i$$

Assim, o valor de $dx_i$ em um vetor tangente arbitrário $v_p$ é a i-ésima componente $v_i$ de sua parte vetorial.
(2) A 1-forma $\psi=f_1dx_1+f_2 dx_2+f_3 dx_3$

$$\psi(v_p) = f_1(\vec{p})dx_1(v_p) +f_2(\vec{p})dx_2(v_p)+f_3 dx_3(v_p)$$

$$= f_1(\vec{p})v_1+f_2(\vec{p})v_2+f_3(\vec{p})v_3$$

$$\psi(v_p) = \sum f_i(\vec{p})v_i$$

(3) Em particular, tomando como vetores os $U_{ip}$, temos

$$dx^{j}(U_{ip})=\delta_{i}^{j}$$

e, assim, $dx_1$,$dx_2$,$dx_3$ formam a base dual de $U_1$, $U_2$,$U_3$, que é a base natural de $\mathbb{R}^3$.

5.4 Lema Se $\phi$ é uma 1-forma em $\mathbb{R}^3$, então $\phi=\sum f_i dx_i$, onde $f_i=\phi(U_i)$. Essas funções $f_1$, $f_2$, $f_3$, são chamadas funções coordenadas euclideanas de $\phi$.
Dem.: Um vetor tangente genérico pode ser escrito

$$v_p=\sum v_i U_i(\vec{p})$$

logo,

$$\phi(v_p)=\phi(\sum v_i U_i(\vec{p}))= \sum v_i \phi(U_i(\vec{p}))=\sum v_i f_i(\vec{p})$$

onde denotamos $\phi(U_i(\vec{p}))$ por $f_i(\vec{p})$. Mas

$$\left(\sum f_i dx_i\right)(v_p)=\sum_{i}f_i(\vec{p}) dx_i(v_p)=\sum_{i} f_i(\vec{p})v_i$$

logo, $\phi=\sum_{i} f_i dx_i$, onde $f_i(\vec{p})=\phi(U_i(\vec{p}))$.

Este lema mostra que uma 1-forma em $\mathbb{R}^3$ não é senão uma expressão $f dx+g dy+h dz$, onde os $dx_i$ são precisamente definidos.

5.5 Corolário: Seja $f$ uma função diferenciável em $\mathbb{R}^3$ . Então,

$$df = \sum \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i$$

Dem.:

$$\sum\frac{\partial f}{\partial x_i} dx_{i}(v_p)= \sum \frac{\partial f}{\partial x_i}(p)v_i$$

Ora,

$$df(v_p)=v_p[f]=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i} (p)v_i$$

o que demonstra o corolário.