Curvas em $\mathbb{R}^3$

4.1 Definição Uma curva em $\mathbb{R}^3$ é uma função diferenciável $\alpha: I\rightarrow \mathbb{R}^3$ de um intervalo aberto $I \subset \mathbb{R}$ em $\mathbb{R}^3$. A função $\alpha$ pode ser escrita como $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$. Ser diferenciável quer dizerentão que $\alpha_1, \alpha_2,alpha_3$ são diferenciáveis.

4.2 Exemplo 1. Reta. É a curva $\alpha:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^3$ definida por

$$\alpha(t)=p+tq=(p_1+tq_1,p_2+tq_2,p_3+tq_3)$$

com $q \neq 0$, é a reta passando por $p$ na direção $q$.

2. Hélice. A curva $t \mapsto (a \cos{t},a\sin{t},0)$ é um círculo de raio $a>0$ no plano $xy$ de $\mathbb{R}^3$. Uma hélice é obtida tmando-se a curva

$$t \mapsto (a\cos{t},a\sin{t},bt)$$

com $a>0$ e $b\neq 0$.
4.3 Definição Seja $\alpha: I\rightarrow \mathbb{R}^3$ uma curva em $\mathbb{R}^3$ com $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$. Para cada $t \in I$, o vetor velocidade de $\alpha$ em $t$ é o vetor tangente

$$\alpha^\prime(t)=\left(\frac{d\alpha_1}{dt}(t),\frac{d\alpha_2}{dt}(t), \frac{d\alpha_3}{dt}(t)\right)_{\alpha(t)}$$

no ponto $\alpha(t)\in \mathbb{R}^3$.
4.4 Definição Seja $\alpha: I\rightarrow \mathbb{R}^3$ uma curva. Se $h:J \rightarrow I$ é uma função diferenciável em um intervalo aberto $J$, então a função composta

$$\beta = \alpha(h):J \rightarrow \mathbb{R}^3$$

é uma curva denominada reparametrização de $\alpha$ por $h$.

4.5 Lema Se $\beta$ é uma reparametrização de $\alpha$ por $h$, então

$$\beta^\prime(s)=\frac{dh}{ds}(s).\alpha^\prime(h(s))$$

Dem.: Escrevendo $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$, temos

$$\beta(s)=\alpha(h(s))=\left(\alpha_1(h(s)),\alpha_2(h(s)),\alpha_3(h(s))\right)$$

Mas $g(f(s))^\prime=g^\prime(f(s)).f^\prime(s)$, logo,

$$\beta^\prime(s)=\left(\alpha_1^\prime(h(s)).h^\prime(s),\alpha_2^\prime(h(s). h^\prime(s), \alpha_3^\prime(h(s).h^\prime(s\right)$$

$$=h^\prime(s).\left(\alpha_1^\prime(h(s)),\alpha_2^\prime(h(s)),\alpha_3^\prime(h(s)) \right)$$

$$\beta^\prime(s)=\frac{dh}{ds}(s).\alpha^\prime(h(s))$$

quod erat demonstrandum.

4.6 LemaSeja $\alpha$ uma curva em $\mathbb{R}^3$ e seja $f$ uma função diferenciável em $\mathbb{R}^3$. Então,

$$\alpha^\prime(t)[f]=\frac{df(\alpha)}{dt}(t)$$

Prova: como

$$\alpha^\prime(t)=\left(\frac{d\alpha_1}{dt},\frac{d\alpha_2}{dt}, \frac{d\alpha_3}{dt}\right)_{\alpha(t)}$$

e como vimos que

$$\vec{v}_p[f]=\sum v_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec{p})$$

temos

$$\alpha^\prime(t)[f]=\alpha^\prime(t)_{\alpha(t)}[f]= \sum_i\frac{d\alpha_i}{dt}(t)\frac{\partial f}{\partial x_i} (\alpha(t))$$

Ora, $f(\alpha)$ pode ser escrita $f(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$. Logo,

$$\frac{df(\alpha)}{dt}(t)=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(\alpha(t)) \frac{d\alpha_i}{dt}(t)$$

Portanto,

$$\alpha^\prime(t)[f]=\frac{sf(\alpha)}{dt}(t)$$

Comentário: $\alpha^\prime(t)[f]$ é a taxa de variação de $f$ ao longo da linha por $\alpha(t)$, na direção $\alpha^\prime(t)$. O lema mostra que esta taxa é a mesma que a da variação de $f$ ao longo da curva $\alpha$.