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Associada a cada vetor tangente
está a reta
Seja uma função diferenciável em
, e considere a função
que é uma função diferenciável na reta real. É claro que a derivada desta função de ,
em , nos diz como varia ao longo da reta que tem a direção de .
3.1 Def. Seja
diferenciável, seja um vetor
tangente a
. O número
é a derivada de em relação a . Outra denominação usada é a de derivada
direcional na direção de .
Exemplo:
e então
Para ,
O cálculo de pode ser reduzido ao cálculo das derivadas parciais no
ponto , como mostram os lemas a seguir.
3.2 Lema Se
é um vetor tangente a
, então
Prova
As principais propriedades dessa derivada direcional são:
3.3 Teorema Sejam
, e vetores tangentes,
e , números. Então,
de demonstração imediata.
As primeiras duas propriedades podem ser sumarizadas assim: é linear em
e em . A terceira é a propriedade de Leibnitz. Todos os tipos de
derivação que vamos encontrar têm essa característica: linearidade e Leibnitz.
Dado um campo vetorial e uma função , podemos falar na função . De fato,
em cada ponto essa função tem o valor , ou seja, a derivada de em
relação ao vetor tangente .
Seja
o campo de referenciais naturais em
. Lembrando que
temos, evidentemente, que
.
Por exemplo:
3.4 Corolário. Sejam e campos vetoriais em
e funções reais
.
A demonstração é simples. Exemplo:
ou seja:
Para simplificar a notação, nem sempre vamos escrever o ponto de aplicação de um vetor
.
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Henrique Fleming
2003-08-11