Vetores Tangentes

2.1 Def. Um vetor tangente $v_{p}$ de $\mathbb{R}^3$ consiste de dois pontos de $\mathbb{R}^3$: a parte vetorial $v$ e o ponto de aplicação $p$. $v_p$ é sempre representado pela flexa do ponto $p$ ao ponto $p+v$. É importante ressaltar que dois vetores tangentes, $v_p$ e $w_q$, são iguais, $v_p=w_q$, se e só se $v=w$ e $p=q$; ou seja, além da igualdade das partes vetoriais, requer-se a igualdade dos pontos de aplicação. Vetores com a mesma parte vetorial e pontos de aplicação diferentes são ditos paralelos. Esta conceituação de vetores tangentes é comum na física, onde o ponto de aplicação de uma força é essencial.

2.2 Def.Seja $p$ um ponto de $\mathbb{R}^3$. O conjunto $T_{p}(\mathbb{R}^3)$ de todos os vetores que têm $p$ como ponto de aplicação é chamado de espaço tangente a $\mathbb{R}^3$ em $p$.

2.3 Def. Um campo vetorial $V$ em $\mathbb{R}^3$ é uma função que associa a cada ponto $p$ de $\mathbb{R}^3$ um vetor tangente $V(p)$ a $\mathbb{R}^3$, em $p$.

Existe uma álgebra natural para campos vetoriais:

$$(V+W)(p) = V(p)+W(p)$$

$$(fV)(p) = F(p)V(p)$$

onde $f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$

2.4 Def. Sejam $U_1,U_2,U_3$ campos vetoriais em $\mathbb{R}^3$ tais que

$$U_1(p) = (1,0,0)_p$$

$$U_2(p) = (0,1,0)_p$$

$$U_3(p) = (0,0,1)_p$$

para todo $p \in \mathbb{R}^3$. Chamamos $U_1,U_2,U_3$ de referencial natural de $\mathbb{R}^3$. $U_i$ ($i=1,2,3$) é um conjunto de vetores unitários na direção $x_i$.

2.5 Lema Se $V$ é um campo vetorial em $\mathbb{R}^3$, existem três ( e só três) funções reais $v_1, v_2, v_3$ em $\mathbb{R}^3$ tais que

$$V=v_1U_1+v_2U_2+v_3U_3$$

As funções $v_1, v_2, v_3$ são denominadas funções coordenadas euclideanas de $V$.
Prova $V:p\mapsto V(p)$ vetor tangente. A parte vetorial de $V(p)$ pode ser descrita como $(v_1(p),v_2(p),v_3(p))$ que, ponto a ponto, define as funções $v_1, v_2, v_3$. Mas

$$V(p) = (v_1(p),v_2(p),v_3(p))$$

$$= v_1(p)(1,0,0)_p+v_2(p)(0,1,0)_p+v_3(p)(0,0,1)_p$$

$$= v_1(p)U_1(p)+v_2(p)U_2(p)+v_3(p)U_3(p)$$

Logo,

$$V=v_1U_1+v_2U_2+v_3U_3$$

Cálculos com campos vetoriais podem sempre ser expressos em termos de suas funções coordenadas euclideanas. Por exemplo, a adição e a multiplicação por uma função são dados por

$$\sum_{i}v_iU_i+\sum_{i}w_iU_i=\sum_{i}(v_i+w_i)U_i$$

$$f\left[\sum_{i}v_iU_i\right]=\sum_{i}\left[fv_i\right]U_i$$

Esta última equação significa que, em um ponto arbitrário $p$, teremos

$$\left\{f\left[\sum_{i}v_iU_i\right]\right\}(p)=\sum_{i}\left( f(p)v_i(p)\right)U_i(p)$$

Um campo vetorial $V$ é diferenciável se suas funções coordenadas euclideanas forem diferenciáveis.