Apêndice

A equação

$$\int dV u\vec{\nabla}^2\frac{1}{r}=-4\pi u(0)$$ (194)

merece tratamento especial. Em primeiro lugar, porque uma cálculo apressado de $\vec{\nabla}^2\frac{1}{r}$ dá zero, o que daria zero para o primeiro membro. Mas esse cálculo está errado, pois a função $\frac{1}{r}$ é descontínua no ponto $r=0$. Uma maneira de descobrir que o laplaceano de $\frac{1}{r}$ não é sempre zero é pelo uso do teorema do divergente. De fato,

$$\vec{\nabla}^2\frac{1}{r}=div \; grad \;\frac{1}{r} = -div\;\frac{\vec{r}}{r^3}$$

logo, tomando uma esfera de raio $R$

$$\int dV \vec{\nabla}^2\frac{1}{r}=-\int dV div \; \frac{\vec{r}}{r^3} =-\int_{S}\frac{\vec{r}}{r^3}.\vec{n}dS$$ (195)

e isto é o fluxo do campo elétrico $\frac{-\vec{r}}{r^3}$, que é o campo de uma carga -1 colocada na origem. Logo, pelo teorema de Gauss, esse fluxo é igual a $-4\pi$. Conseqüentemente, o primeiro membro da Eq.(195) não pode ser zero, ou seja, $\vec{\nabla}^2\frac{1}{r}$ não pode ser identicamente zero. No entanto, para $r\neq 0$, o laplaceano é nulo, pois a função é contínua, e o cálculo direto está correto. Logo, é no ponto $r=0$ que acontece alguma coisa interessante. Incidentalmente, mostramos que

$$\int dV \vec{\nabla}^2 \frac{1}{r} = -4\pi$$ (196)

Voltemos ao cálculo da Eq.(194). Note-se que, para qualquer $r\neq 0$, $\vec{\nabla}^2\frac{1}{r}=0$, ou seja, o valor da função $u$ para $r\neq 0$ é irrelevante para o cálculo da integral, uma vez que vem sempre multiplicado por 0. O único valor de $u$ que interessa é $u(0)$. Logo, a integral não se altera se substituirmos $u$ pela função constante que tem o valor $u(0)$ em todos os pontos. Assim,

$$\int dV u \vec{\nabla}^2\frac{1}{r} = \int dV u(0) \vec{\nabla}^2 \frac{1}{r} = u(0)\int dV \vec{\nabla}^2 \frac{1}{r} = -4\pi u(0)$$ (197)

que é o resultado que queríamos obter.

Em tratamentos mais avançados se demonstra a seguinte relação:

$$\vec{\nabla}^2\frac{1}{r}=-4\pi \delta(\vec{r})$$ (198)

onde, no segundo membro, aparece a ``função'' delta de Dirac. Este resultado sintetiza o resultado anterior e muitos outros semelhantes. Veja, por exemplo, as minhas notas sobre as funções de Green, e sobretudo, a grande obra de Dirac [5], ``Principles of Quantum Mechanics'', tida por muitos como o maior livro de Física desde os ``Principia'' de Newton[6].