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Um vetor será sempre representado por suas componentes cartesianas.
O vetor
, de componentes
, será apresentado assim:``o
vetor
'', sem maiores comentários. As seguintes relações
são óbvias:
onde
é um número. Note que o índice
pode assumir
os valores 1,2 e 3. Todos os índices que aparecerão aqui
assumirão esses valores.
O produto escalar de dois vetores
e
, denotado por
é escrito
![$\displaystyle \vec{V}.\vec{W}=\sum_{i=1}^{3}V_i W_i$](img306.png) |
(114) |
No entanto, o símbolo de soma,
, é redundante. Vamos
eliminá-lo, escrevendo o produto escalar assim:
![$\displaystyle \vec{V}.\vec{W}=V_iW_i$](img308.png) |
(115) |
A regra é que, quando os índices são repetidos (como o
nessa expressão) é sempre feita uma soma para o índice indo
de 1 até 3.
Exemplos:
(1)
![$\displaystyle \sum_{i=1}^{3}V_i V_i\equiv V_iV_i=V_{1}V_{1}+V_{2}V_{2}+V_{3}V_{3}=V_{x}^2+V_{y}^2+V_{z}^2=\vert\vec{V}\vert^2$](img309.png) |
(116) |
(2)
![$\displaystyle \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}V_iW_iU_jM_j=V_iW_iU_jM_j=(V_{1}W_{1}+V_{2}W_{2}+V_{3}W_{3}) (U_{1}M_{1}+U_{2}M_{2}+U_{3}M_{3})$](img310.png) |
(117) |
![$\displaystyle = (\vec{V}.\vec{W})(\vec{U}.\vec{M})$](img311.png) |
(118) |
(3)
O símbolo
, denominado delta de Kronecker é
definido assim:
. Para todas as
outras possibilidades,
. Assim,
.
Considere a soma
![$\displaystyle \delta_{ij}V_{j}=\delta_{i1}V_{1}+\delta_{i2}V_{2}+\delta_{i3}V_{3}$](img315.png) |
(119) |
Para
, o único termo que não se anula é
. Mas o número 1 não tem nada de especial,
logo, devemos ter que
![$\displaystyle \delta_{ij}V_{j}=V_{i}$](img317.png) |
(120) |
Note que
![$\displaystyle \delta_{ii}=\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}=1+1+1=3$](img318.png) |
(121) |
pois o índice
, repetido, indica a soma.
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Henrique Fleming
2003-08-11