Aplicações

A primeira aplicação do teorema importantíssimo (eq.(17)) é o cálculo do duplo produto vetorial, $\vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})$. Temos:

$$\left(\vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})\right)_i=\epsilon_{ijk} V_j(\vec{W}\times\vec{U})_k$$ (18)

Por outro lado,

$$(\vec{W}\times\vec{U})_k=\epsilon_{klm}W_lU_m$$ (19)

de modo que

$$\left(\vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})\right)_i=\epsilon_{ijk} V_j \epsilon_{klm}W_lU_m$$ (20)

Nesta última equação temos a combinação $\epsilon_{ijk} \epsilon_{klm}$, que é a mesma coisa que $\epsilon_{kij}\epsilon_{klm}$. Pelo teorema importantíssimo,

$$\epsilon_{kij}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$$ (21)

Levando este resultado à eq.(20), temos

$$\left(\vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})\right)_i = (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})V_j W_lU_m$$ (22)

$$= W_iV_jU_j-U_iV_jW_J$$

$$= (\vec{V}.\vec{U})W_i-(\vec{V}.\vec{W})U_i$$

ou seja, finalmente,

$$\vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})=(\vec{V}.\vec{U})\vec{W}-(\vec{V}.\vec{W})\vec{U}$$ (23)

Para a segunda aplicação vamos introduzir o ``vetor'' $\vec{\nabla}$, cujas componentes são dadas por

$$(\vec{\nabla})_i=\frac{\partial}{\partial x_i}$$ (24)

onde $x_i$ representa, claramente, a $i$-ésima coordenada cartesiana $i=1,2,3$. Usaremos também uma abreviação mais drástica:

$$(\vec{\nabla})_i=\partial_i$$ (25)

Com isto podemos introduzir o divergente de um campo vetorial. Sejam $V_i(x,y,z)$ as componentes cartesianas de um campo vetorial. O campo escalar $div\;\vec{V}$ é descrito por

$$div\;\vec{V}=\vec{\nabla}.\vec{V}=\partial_iV_i$$ (26)

Um desafio mais interessante é o tratamento do operador $rot$. O rotacional do campo vetorial $\vec{V}$ é em geral apresentado em termos de suas coordenadas cartesianas, dadas pelo determinante simbólico:

$$rot\;\vec{V}=\left(\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \... ...l}{\partial z} \\ V_{x} & V_{y} & V_{z} \end{array}\right)$$ (27)

que significa

$$rot\;\vec{V}=\vec{i}\left(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\f... ...artial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\right)$$ (28)

Para a nossa notação é útil lembrar que $rot\;\vec{V}=\vec{\nabla}\times\vec{V}$. Por isso,

$$(\vec{\nabla}\times\vec{V})_i=\epsilon_{ijk}\partial_jV_k$$ (29)

Como mais uma aplicação simples, vamos mostrar que $rot\;grad=0$.

$$(\vec{\nabla}\times\vec{\nabla}f)_i=\epsilon_{ijk}\frac{\par... ...=\epsilon_{ijk} \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}$$ (30)

Para mostrar que isto é zero, vamos recorrer a outro resultado importante. Seja $A_{ij}$ tal que $A_{ij}=-A_{ji}$, e $S_{ij}$ tal que $S_{ij}=S_{ji}$. Dizemos que $S$ é simétrica, e que $A$ é antissimétrica. Vamos mostrar que

$$S_{ij}A_{ij}=0$$ (31)

(Note que um caso particular desta relação é que $\epsilon_{ijk}\delta_{ij}=0$, pois $\delta_{ij}=\delta_{ji}$ enquanto $\epsilon_{ijk} =- \epsilon_{jik}$). A prova é esta:

$$S_{ij}A_{ij}=-S_{ij}A_{ji}$$ (32)

pela antissimetria de $A$. Agora, mudamos os nomes dos índices: aquele que era denotado por $i$ passa a ser denotado por $j$, e vice-versa. A expressão anterior então fica, repetindo-a desde o começo:

$$S_{ij}A_{ij}=-S_{ij}A_{ji}=-S{ji}A_{ij}=-S{ij}A_{ij}$$ (33)

onde, na última igualdade, usamos a simetria de $S$. Comparando os dois extremos, vemos que temos uma expressão $X=-X$, cuja única solução é 0. Logo,

$$S_{ij}A_{ij}=0$$ (34)

Um ponto que em geral causa perplexidade é a ``mudança de nome'' dos índices. Isto é uma coisa muito simples, se se restaura, por um momento o símbolo de somatório:

$$\sum_{i=1}^3S_i=\sum_{j=1}^3S_j$$ (35)

ou seja, a letra que designa a soma é arbitrária. Podemos trocá-la à vontade. Por isso, $S_{ij}A_{ij}=S_{ji}A_{ji}=S_{lm}A_{lm}$.

Voltando à eq.(30), temos

$$\epsilon_{ijk} \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}=0$$ (36)

pois se aprende no Cálculo Diferencial e Integral que a derivada mista não depende da ordem de derivação, ou seja, por exemplo,

$$\frac{\partial f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$$ (37)

Logo, a eq.(30) nos diz que

$$rot \; grad \; f=0$$ (38)

qualquer que seja $f$.