O tensor eletromagnético

Vamos agora introduzir as quantidades que correspondem, no formalismo relativista, aos campos $\vec{E}$ e $\vec{B}$. Considere o tensor de segunda ordem

$$\ F_{\mu \nu}=\frac{\partial A_{\nu}}{\partial x^{\mu}}-\frac{\partial A_{\mu}} {\partial x^{\nu}}.$$ (139)

Em termos dos $F_{\mu \nu}$ as equações de Maxwell adquirirão sua forma definitiva. Primeiro vamos mostrar explicitamente que $F_{\mu \nu}$ é um tensor.

$$\ F'_{\mu \nu}=\frac{\partial A'_{nu}}{\partial x^{' \mu}}-\frac{\partial A'_{\mu}} {\partial x^{' \nu}}$$ (140)

e

$$\frac{\partial}{\partial x^{' \mu}}=\frac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{' \mu}} \frac{\partial}{\partial x^{\lambda}}$$

e, como $x^{\omega}=a_{\mu}^{\; \omega}x^{' \;\mu}$, temos

$$\frac{\partial x^{\omega}}{\partial x^{' \; \mu}}=a_{\mu}^{\; \omega}$$

Por outro lado,

$$\ A'_{\nu}=a_{\mu}^{\; \omega}A_{\omega}$$ (141)

Logo,

$$\ F'_{\mu \nu}=a_{\mu}^{\; \omega} a_{\nu}^{\; \lambda}\fra... ...}=a_{\mu}^{\; \omega} a_{\nu}^{\; \lambda} F_{\omega \lambda}$$ (142)

que é a fórmula de transformação de um tensor de segunda ordem.