Experiência do ímã flutuante

A figura acima mostra um supercondutor de superfície plana e, perto dele, um ímã. Vamos ver que o fato de que o campo no interior do supercondutor tem de ser nulo, cria uma força de repulsão entre o ímã e o supercondutor que é capaz de levitar o ímã. A demonstração é facil de obter usando técnicas de potencial.

O que acontece com um polo magnético posto diante de um plano supercondutor? Fora do plano e do ponto onde está o polo, temos as equações

$$div \vec{B} = 0$$ (22)

$$rot \vec{B} = 0$$ (23)

A primeira, que é válida sempre (inclusive na superfície) garante a continuidade da componente normal de $\vec{B}$. Como $\vec{B}=0$ dentro do condutor, a componente normal de $\vec{B}$ no plano é nula. Então, resolvemos o problema assim:

$$rot \vec{B} = 0 \rightarrow \vec{B}=-\vec{\nabla}\phi$$ (24)

$$div \vec{B} = 0 \rightarrow \vec{\nabla}^2\phi=0$$ (25)

Isto é, trata-se de um problema de potencial. A condição de contorno é que $\frac{\partial \phi}{\partial n}=0$ na superfície do supercondutor. O problema está completamente determinado e a solução é única. Vamos mostrar que ela pode ser obtida pelo método das imagens.

A superposição das duas ``cargas'' da figura satisfaz as condições do problema.

$$\phi(x,y)=\frac{Q}{a}+\frac{Q}{b}=\frac{Q}{\sqrt{(x-d)^2+y^2}} +\frac{Q}{\sqrt{(x+d)^2+y^2}}$$ (26)

É óbvio que $\phi(x,y)$ satisfaz a equação de Laplace. Sua derivada

$$\frac{\partial \phi}{\partial x}= -2Q\left(\frac{x-d}{[(x-d)... ...{\frac{3}{2}}} +\frac{x+d}{[(x+d)^2+y^2]^{\frac{3}{2}}}\right)$$ (27)

deve se anular em $x=0$ (componente normal do campo!). Logo,

$$\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_{x=0}=0$$ (28)

É então muito fácil prever o comportamento do ímã.