Apêndice matemático

Os Apêndices Matemáticos do livro Quantum Mechanics de Landau e Lifshitz são famosos por sua elegância e pelos métodos poderosos que expõem. Infelizmente são também famosos por sua concisão e dificuldade. Neste artigo tentamos torná-los acessíveis oferecendo um tratamento mais detalhado. Entre as muitas excelências do grande livro Quantum Mechanics, de L. D. Landau e E. M. Lifshitz[1], está o apêndice denominado Mathematical Appendices, onde, de uma forma unificada, são tratadas várias das funções especiais necessárias ao longo do texto. Essa unificação é tornada possível pelo uso do método de Laplace, uma genial técnica de resolução de certas equações diferenciais ordinárias inventada pelo grande matemático francês enquanto redigia seu Théorie analytique des probabilités. O método faz uso intenso da integração no plano complexo, o que abre caminho para a utilização do método do ponto sela, para o estudo do comportamento assintótico das soluções. É esta combinação de técnicas que faz com que os métodos apresentados no apêndice citado se destaquem pela elegância e concisão, para não mencionar a potência. O tratamento dado por Landau é talvez excessivamente breve, o que torna o material do apêndice acessível para poucos. Este artigo pretende, estendendo-se mais longamente sobre o tema, torná-lo acessível a um número maior de estudantes. Minha principal fonte foi o grande tratado de Edouard Goursat[2], Cours d'Analyse Mathématique. Uma exposição mais detalhada e ambiciosa, escrita com a graça de sempre, encontra-se em Hille[3], abundante em notas históricas e aplicações elegantes. Para o método do ponto sela minha referência preferida é Courant, Hilbert[4]. Para saber mais sobre Laplace e seu tratado de probabilidades veja o notável Dictionary of Scientific Biography[5] ou, mais especificamente, a biografia de Laplace por Gillispie[6], um dos editores do dicionário citado.