O ``cálculo simples''

Trata-se de calcular

$$\vec{r}\times rot\;\vec{M}$$ (41)

A i-ésima componente desta quantidade é:

$$\begin{eqnarray*} \left( \vec{r}\times rot\vec{M}\right)_i & = & \epsilon_{ijk}... ...artial_l M_m \\ & = & x_j \partial_i M_j - x_j \partial_j M_i \end{eqnarray*}$$

Ora,

$$x_j \partial_i M_j=\partial_i(\vec{r}.\vec{M})-\delta_{ij}M... ...}) - M_i=\left(\vec{\nabla}(\vec{r}.\vec{M})-\vec{M}\right)_i$$

e

$$x_j \partial_j M_i=\partial_j(x_j M_i)-(\partial_j x_j)M_i=div(M_i \vec{r})-3M_i$$

Levando à expressão anterior, temos

$$\left(\vec{r}\times\vec{M}\right)_i=\left(\vec{\nabla}(\vec{r}.\vec{M})-\vec{M}\right)_i - div(M_i \vec{r}) + 3 M_i$$ (42)

ou, finalmente,

$$\left(\vec{r}\times rot\vec{M} \right)_i= 2\vec{M}_i + \left(\vec{\nabla}( \vec{r}.\vec{M})\right)_i - div(M_i\vec{r})$$ (43)

que era o resultado procurado.