Exemplo de grupo de Lie: o $S^1$

1. A variedade $S^1$. Como conjunto, $S^1$ pode ser descrita como

$$S^1=\{e^{i\phi} \in C\;t.q.\; \phi \in R\}$$

que é o círculo de raio 1 no plano complexo. Os pontos de $S^1$ são os valores de $e^{i\phi}$. Na figura vemos alguns desses pontos.

Tomemos a topologia induzida de $C$. Vamos mostrar que existe um sistema de cartas que faz de $S^1$ uma variedade diferenciável real de dimensão 1. Considere a função $\Phi:S^1\rightarrow R$ dada por

$$x\mapsto \frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)$$

ou, equivalentemente,

$$e^{i\phi}\mapsto \frac{1}{2}\left(e^{i\phi}+\frac{1}{e^{i\phi}}\right)=\cos{\phi}$$

A derivada de $\Phi$, dada por $\Phi^\prime=-\sin{\phi}$, anula-se para $x=\pm 1$, o que significa que $\cos{\phi}$ não tem inversa nesses pontos. Excluídos, então, $x=\pm 1$, a função $e^{i\phi}\mapsto \cos{\phi}$ é um homeomorfismo em um aberto de $R$.

A função $\overline{\Phi}:S^1\rightarrow R$ dada por

$$x\mapsto\frac{1}{2i}\left(x-\frac{1}{x}\right)$$

ou

$$e^{i\phi}\mapsto \frac{1}{2i}\left(e^{i\phi}-\frac{1}{e^{i\phi}}\right)=\sin{\phi}$$

tem o mesmo tipo de problema para $x= \pm i$, pois aí se anula sua derivada. Então, para pontos $x\neq \pm i$, $e^{i\phi}\mapsto \sin{\phi}$ é um homeomorfismo em um aberto de $R$. Podemos então construir o seguinte atlas:

Para todo $x\in S^1\;,\;x\neq \pm 1$, tomamos a carta $(U, \Phi)$:

$$U=\{e^{i\phi}:\vert x-e^{i\phi}\vert< min\left(\frac{\vert 1-x\vert}{2},\frac{\vert 1+x\vert}{2}\right)\}$$

$$\Phi(e^{i\phi})=\cos{\phi}=\frac{1}{2}\left(e^{i\phi}+\frac{1}{e^{i\phi}}\right)$$

Para todo $x\in S^1,\;\;x\neq \pm i$, tomamos a carta $(U, \Phi)$:

$$U=\{e^{i\phi}:\vert x-e^{i\phi}\vert<\;min\left(\frac{\vert x-i\vert}{2},\frac{\vert x+i\vert}{2}\right)\}$$

$$\Phi(e^{i\phi})=\sin{\phi}=\frac{1}{2i}\left(e^{i\phi}-\frac{1}{e^{i\phi}}\right)$$

A compatibilidade é trivial. Suponhamos que, para o ponto $y\in S^1$, valham as cartas $(U_1, \cos{\phi})$ e $(U_2, \sin{\phi})$. Então, na interseção $U_1\cap U_2$ devemos ter $cos\circ sin^{-1}$ e $sin \circ cos^{-1}$ diferenciáveis. Mas,

$$cos \circ sin^{-1}(\phi)= \cos{\arcsin{\phi}}=\sqrt{1-\phi^2}$$

que é diferenciável.

2.O grupo de Lie $S^1$
Se $x,y\in S^1$, a operação produto é

$$x.y=e^{i\phi}.e^{i\phi^\prime}=e^{i(\phi+\phi^\prime)}$$

ou seja,

$$(x,y)\mapsto xy \;\;\;ou\;\;\; (e^{i\phi},e^{i\phi^\prime}) \mapsto e^{i(\phi+\phi^\prime)}$$

Para mostrar que ela é diferenciável, tomemos uma carta de $S^1\times S^1$ em torno de $(e^{i\phi},e^{i\phi^\prime})$. Suponhamos que a função seja o $\cos{\phi}$, e que a carta seja $(U\times U, cos\times cos)$. Se

$$\phi:(e^{i\phi},e^{i\phi^\prime})\mapsto e^{i(\phi+\phi^\prime)}$$

é a função multiplicação, sua representação local é

$$\Phi \circ \phi \circ (\Phi \times \Phi)^{-1}(\cos{\phi},\cos{\phi^\prime}) = \Phi \circ \Phi (e^{i\phi},e^{i\phi^\prime})$$ (21)

$$= \Phi\left(e^{i(\phi+\phi^\prime)}\right)=\cos{(\phi+\phi^\prime)}$$

$$= \cos{\phi}\cos{\phi^\prime}-\sin{\phi}\sin{\phi^\prime}$$

$$= \cos{\phi}\cos{\phi^\prime}-\sqrt{1-\cos^2{\phi}} \sqrt{1-\cos^2{\phi^\prime}}$$

que é uma função diferenciável de $\cos{\phi}$ e de $\cos{\phi^\prime}$.

Portanto $S^1$ é um grupo de Lie real de dimensão 1.