As formas invariantes e a álgebra de Lie

Seja $G$ um grupo de Lie e seja $a\in G$. Considere a aplicação $L_a:G \rightarrow G$, definida por

$$L_a x=ax$$

que é diferenciável. Então existe $L_a*:G_x\rightarrow G_{ax}$, e sua transposta, $L_a^{*}:G_{ax}^*\rightarrow G_x^*$, bem como suas extensões homomórficas, denotadas pelos mesmos símbolos. Note que $L_a$ é $1-1$. De fato, sejam $x\;,x^\prime\;\in G$, tais que

$$L_{a} x=L_a x^\prime$$

Então, $ax=ax^\prime$. Como existe $a^{-1}$, temos

$$a^{-1}ax=a^{-1}ax^\prime \rightarrow x=x^\prime$$

QED

Seja $\Omega$ uma forma diferencial sobre $G$. Diz-se que $\Omega$ é invariante à esquerda se $L_a^*\Omega=\Omega$ para todo $a\in g$.

Proposição: Se $\omega_1$ e $\omega_2$ são p-formas invariantes à esquerda, também o serão $b\omega_1+c\omega_2$ e $\omega_1\wedge \omega_2$, para quaisquer $b$ e $c$. Além disso, $d\omega$ é invariante à esquerda, se $\omega$ o for.
Demonstração:

$$L_a^*(b\omega_1+c\omega_2)=bL_a^*\omega_1+cL_a^*\omega_2=b\omega_1+c\omega_2$$

$$L_a^*(\omega_1\wedge \omega_2)=(L_a^*\omega_1)\wedge(L_a^*\omega_2)=\omega_1\wedge\omega_2$$

$$L_a^* d\omega=dL_a^*\omega = d\omega$$

Em outras palavras, o espaço das formas invariantes à esquerda é uma sub-álgebra da álgebra de todas as formas sobre $G$, e é fechada pela operação $d$. Chamaremos esta álgebra das formas invariantes à esquerda, de $\mathcal{A}_l(G)$.

Seja $T_e^*(G)$ o dual do espaço tangente a $G$ em $e$. Sabemos que podemos construir, se $dim \; G=d$, todas as potências exteriores $\Lambda^p T_e^*(G)$, para $p\leq d$. Denotaremos por $\Lambda \left(T_e^*(G)\right)$ o conjunto de todos os espaços vetoriais $\Lambda^p\left(T^*_e(G)\right)$, para $0\leq p \leq d$.

Teorema Seja $G$ um grupo de Lie e $e$ o elemento identidade. O mapeamento $\omega \mapsto \omega_e$, que associa a cada p-forma invariante à esquerda sobre $G$ o seu valor $\omega_e$ na identidade $e$, é um isomorfismo de $\mathcal{A}_l(G)$ sobre $\Lambda^p\left(T^*_e(G)\right)$.
Dem: o mapeamento é obviamente linear. Vamos mostrar que é 1-1 e sobrejetor.
1.O mapeamento é injetor (1-1).
Queremos mostrar que, dadas duas p-formas $\omega$ e $\omega^\prime$, de $\mathcal{A}_l(G)$, se $\omega_e=\omega^\prime_e$, então $\omega_a=\omega^\prime_a$ pata todo $a$, ou seja,

$$\omega_e=\omega^\prime_e \rightarrow \omega = \omega^\prime$$

Pela definição de $L_a^*$, temos que

$$L_a^*\omega(v)=\omega(L_a* v)$$

ou

$$\langle v, L_a^*\omega\rangle = \langle L_a*v, \omega\rangle$$

Como isto é válido para todo $v$, temos que

$$L_a^*\omega=\omega \circ L_a*$$

Tomemos o caso particular $L_a:e \rightarrow a$, e, portanto,

$$L_a* : T_e(G) \rightarrow T_a(G)$$ (4)

$$L_a^* : T_a^*(G) \rightarrow T_e^*(G)$$ (5)

Então, se $\omega$ é uma forma em $G$ e seu valor em $a$ é $\omega_a$, temos

$$\left(L_a^*\omega\right)_e=\omega \circ L_a*$$

e, analogamente,

$$\left(L_a^*\omega^\prime\right)_e=\omega_a^\prime\circ L_a8$$

Mas $\omega$ e $\omega^\prime$ são invariantes à esquerda. Logo,

$$\left(L_a^*\omega\right)_e=\omega_e=\omega^{\prime}_{e}=\left( L_a^*\omega^\prime\right)_e$$

Segue que

$$\omega_a\circ L_a* =\omega^\prime_a\circ L_a*$$

para qualquer $a$. Como $L_a*$ é 1-1, podemos concluir que

$$\omega_a=\omega^\prime_a \forall a$$

ou seja,

$$\omega=\omega^\prime$$ (6)

2.O mapeamento é sobrejetor. Ou seja, dada qualquer forma $\alpha$ em $\Lambda T_e^*(G)$, existe uma forma invariante à esquerda $\omega$ tal que seu valor em $e$ é $\omega_e=\alpha$. Seja $\alpha \in \Lambda T_e^*(G)$. Basta definir $\omega$ por

$$\omega_a=\alpha\circ L_a^{-1}*$$ (7)

Então

$$\omega_e=L_a^*\omega=\omega_a\circ L_a* = \alpha\circ L_a^{-1}*\circ L_a* = \alpha$$

Em particular, o espaço das 1-formas invariantes à esquerda te dimensão $d$ (que é a dimensão de $G$). Seja $\omega^1,...\omega^d$ uma base para 1-formas em $G$. Então, como $d\omega^i\;\;(i=1,...,d)$ é uma 2-forma invariante à esquerda, temos

$$d\omega^i=\sum_{1\leq j < k \leq d}C^i_{jk}\omega^j\wedge\omega^k$$ (8)

Aplicando $L^*_a$ a ambos os mambros, temos

$$L_a^* d\omega^i = \sum (L_a^* C_{jk}^i)(L_a^*\omega^j) \wedge(L_a^* \omega^k)$$ (9)

$$d\omega^i = \sum(L_a^* C^i_{jk})\omega^j\wedge\omega^k$$ (10)

Comparando, temos

$$L_a^*C^i_{jk}=C^i{jl}$$ (11)

ou seja, os $C^i_{jk}$ são constantes. Essas constantes são denominadas constantes de estrutura de $G$, e as equações

$$d\omega^i=\sum_{(j,k)}C^i_{jk}\omega^j\wedge \omega^k$$ (12)

são as equações de Maurer-Cartan.

Seja $X$ um campo vetorial sobre $G$. Diz-se que $X$ é invariante à esquerda se $L_a*X=X\;, \forall a \in G$. Se $X$ e $Y$ são invariantes à esquerda, $X+Y$ e $[X,Y]$ também o são (Bishop, pg.139).

Considere o mapeamento dado por $X\mapsto X_e$, onde $X$ é um campo vetorial invariante à esquerda. Analogamente ao caso de formas, demonstra-se que esse mapeamento é 1-1 e sobrejetor. Seja então $X_1, X_2,...,X_d$ uma base para campos vetoriais em $G$. Seja $\alpha^1,...,\alpha^d$ a base de $T_e(G)$ dual da base $X_{1e},...X_{de}$. Sejam ainda $\omega^1,...,\omega^d$ formas invariantes à esquerda tais que $\omega^j_e=\alpha^j$. Então,

$$\langle X_i\vert\omega^j\rangle = \delta^j_{\;i}$$ (13)

Ora,

$$2d\omega^i(X_j,X_k)=X_j\omega^i(X_k)-X_k\omega^i(X_j)-\omega^i\left([X_j,X_k]\right)$$ (14)

e, como os dois primeiros termos da direita são nulos,

$$2d\omega^i(X_j,X_k)=-\omega^i\left([X_j,X_k]\right)$$ (15)

Por outro lado, das equações de Maurer-Cartan,

$$d\omega^i(X_j,X_k)=C^i_{lm}\omega^l\wedge\omega^m(X_j,X_k)=C^i_{jk}$$ (16)

e, como $\omega^i([X_j,X_k])$ é a i-ésima componente do campo vetorial $[X_j,X_k]$ na base $X_i$,

$$[X_j,X_k]=\omega^i\left([X_j,X_k]\right)=-2C^i_{jk}X_i$$ (17)

Para manter a tradição, definimos novas constantes de estrutura

$$c^i_{jk}=-2C^i_{jk}$$ (18)

Então,

$$[X_j,X_k]=c^i_{jk}X_i$$ (19)

e

$$d\omega^i=-\frac{1}{2}c^i_{jk}\omega^j\wedge\omega^k \; ,$$ (20)

como se encontra, por exemplo, em Kobayashi, Nomizu, Foundations of Differential Geometry.