Produto de variedades

O conceito de variedade produto será essencial no estudo dos grupos de Lie. Uma variedade diferenciável é denotada por $(M,\;\mathcal{A},n)$, onde $M$ é um espaço topológico, $\mathcal{A}$ é um atlas e $n$ é a dimensão da variedade. Sejam $(M_1, \mathcal{A}_1, n_1)$ e $(M_2, \mathcal{A}_2, n_2)$ duas variedades. A variedade produto é definida assim: é a variedade diferenciável $(M_1\times M_2,\mathcal{A}_1\times \mathcal{A}_2, n_1+n_2)$ onde os símbolos significam:
$M_1\times M_2$: é o espaço topológico dos pares $(p,q)$, com $p\in M_1$ e $q\in M_2$, dotado da topologia produto.
$\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2$:é o ``produto de atlas'', definido assim: seja $(U_1,\phi_1)$ uma carta de $M_1$, e $(U_2, \phi_2)$ uma carta de $M_2$.
Então $(U_1\times U_2, \phi_1\times\phi_2)$ será uma carta de $\mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2$, onde

$$\phi_1\times\phi_2\;\;:(p,q)\rightarrow R^{n_1+n_2}$$

é definido como

$$(\phi_1\times\phi_2)(p,q)=\left(\phi_1(p),\phi_2(q)\right)$$ (3)