Introdução

Um grupo é um conjunto $X$ com uma lei de composição $X\times X\rightarrow X$,

$$(x,y)\mapsto xy$$ (1)

tal que
(1)a operação é associativa: $(xy)z=x(yz) \;\;\forall\;x,y,z\;\in X$
(2)existe um elemento $e \in X$ chamado identidade tal que

$$xe=ex=x \;\;\;\forall x \in X \\$$

(3) para cada $x \in X$ existe um elemento de $X$ chamado o inverso de $x$, denotado por $x^{-1}$, tal que

$$xx^{-1}=x^{-1}x=e$$

A operação do grupo é denominada multiplicação.

Uma algebra é um espaço vetorial com mais uma operação interna, denominada multiplicação. Exemplo: o conjunto das matrizes reais $n\times n$ com a adição de matrizes como operação soma, é um espaço vetorial, isomorfo ao $R^{N^{2}}$. Incluíndo-se o produto usual de matrizes como multiplicação, tem-se a álgebra das matrizes $n\times n$.

Uma álgebra de Lie é uma álgebra cuja multiplicação, denotada por $[a,b]$, possui as seguintes propriedades:
(1)$[a,b]=-[b,a]$
(2) $[a+b,c]=[a,c]+[b,c]$
(3) $[u,[v,w]]+[v,[w,u]]+[w,[u,v]]=0$
sendo esta última conhecida como identidade de Jacobi.