Potenciais retardados.

Estamos agora em condições de resolver as equações satisfeitas pelos potenciais escalar $\phi$ e vetor $\vec{A}$. Para $\phi$ a equação é:

$$\vec{\nabla}^2\phi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -4\pi\rho$$ (29)

Pelo método das funções de Green, a solução que se anula no infinito é

$$\phi(\vec{r},t) = \int d^3\vec{r'}\int dt'G(\vec{r}-\vec{r'},t-t') \rho(\vec{r'},t') \; .$$ (30)

Substituindo $G$ pelo seu valor (Eq. 28), temos

$$\phi(\vec{r},t) =\int d^3\vec{r'}\int dt' \frac{\delta(t-t... ...r'}\vert}{c})} {\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}\rho(\vec{r'},t')$$ (31)

O valor de $t'$ para o qual o argumento de $\delta(t-t'-\frac{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}{c})$ se anula é $t'= t-\frac{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}{c}$. Portanto,

$$\phi(\vec{r},t) = \int d^3\vec{r'} \frac{\rho(\vec{r'},t-\f... ...ert\vec{r}-\vec{r'}\vert} {c})}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}$$ (32)

que é a fórmula do potencial retardado que tínhamos proposto anteriormente por razões intuitivas. De maneira inteiramente análoga se obtém:

$$\vec{A}(\vec{r},t)=\frac{1}{c} \int d^3\vec{r'} \frac{\vec... ...vert\vec{r}-\vec{r'}\vert} {c})}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}$$ (33)

A partir dessas duas equações podemos, em princípio, resolver qualquer problema de radiação eletromagnética.