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Potenciais retardados.

Estamos agora em condições de resolver as equações satisfeitas pelos potenciais escalar $\phi$ e vetor $\vec{A}$. Para $\phi$ a equação é:
\begin{displaymath}
\vec{\nabla}^2\phi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} =
-4\pi\rho
\end{displaymath} (29)

Pelo método das funções de Green, a solução que se anula no infinito é
\begin{displaymath}
\phi(\vec{r},t) = \int d^3\vec{r'}\int dt'G(\vec{r}-\vec{r'},t-t')
\rho(\vec{r'},t') \; .
\end{displaymath} (30)

Substituindo $G$ pelo seu valor (Eq. 28), temos
\begin{displaymath}
\phi(\vec{r},t) =\int d^3\vec{r'}\int dt'
\frac{\delta(t-t...
...r'}\vert}{c})}
{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}\rho(\vec{r'},t')
\end{displaymath} (31)

O valor de $t'$ para o qual o argumento de $\delta(t-t'-\frac{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}{c})$ se anula é $t'= t-\frac{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}{c}$. Portanto,
\begin{displaymath}
\phi(\vec{r},t) = \int d^3\vec{r'} \frac{\rho(\vec{r'},t-\f...
...ert\vec{r}-\vec{r'}\vert}
{c})}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}
\end{displaymath} (32)

que é a fórmula do potencial retardado que tínhamos proposto anteriormente por razões intuitivas. De maneira inteiramente análoga se obtém:
\begin{displaymath}
\vec{A}(\vec{r},t)=\frac{1}{c} \int d^3\vec{r'}
\frac{\vec...
...vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}
{c})}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}
\end{displaymath} (33)

A partir dessas duas equações podemos, em princípio, resolver qualquer problema de radiação eletromagnética.
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Henrique Fleming 2002-04-20