Interação Eletromagnética
Formalismo Hamiltoniano

O problema que estudaremos aqui é o seguinte: uma partícula de massa $m$ e carga $q$ está sob ação de um campo eletromagnético descrito por $\vec{E}$ e $\vec{B}$. Determinar o Hamiltoniano da partícula. Não fosse pelo campo eletromagnético, o Hamiltoniano seria o de uma partícula livre,

$$H=\frac{\vec{p}\;^2}{2m}\; .$$

A força que age sobre uma partícula de carga $q$, devida aos campos elétrico e magnético, é (força de Lorentz):

$$\vec{F} = q(\vec{E} + \frac{\vec{v}}{c}\times \vec{B})$$

Em termos dos potenciais, temos,

$$\vec{E} = -\vec{\nabla}\phi - \frac{1}{c}\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$$

$$\vec{B} = rot \vec{A}$$

Logo,

$$\vec{F}=q\{-\vec{\nabla}\phi - \frac{1}{c}[\frac{\partial\vec{A}} {\partial t}-\vec{v}\times rot\,\vec{A}]\}$$

Como é bem sabido,¹

$$\frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{\partial\vec{A}}{\partial t} + (\vec{v}.\vec{\nabla})\vec{A} \; .$$

Como $\vec{v}\times rot\,\vec{A} = \vec{\nabla}(\vec{v}. \vec{A})- (\vec{v}.\vec{\nabla}) \vec{A}$, temos

$$\vec{F} = q\{-\vec{\nabla}\phi - \frac{1}{c}[\frac{d\vec{A}}{dt} -(\vec{v}.... ...\nabla})\vec{A}-\vec{\nabla}(\vec{v}.\vec{A}) +(\vec{v}.\vec{\nabla})\vec{A}]\}$$

$$= q\{-\vec{\nabla}\phi - \frac{1}{c}[\frac{d\vec{A}}{dt}- \vec{\nabla}(\vec{v}.\vec{A})]\}$$ (1)

ou seja,

$$\vec{F}= q[-\vec{\nabla}(\phi - \frac{1}{c}\vec{v}.\vec{A}) -\frac{1}{c}\frac{d\vec{A}}{dt}] \;.$$ (2)

Seja $U=q(\phi - \frac{1}{c}\vec{v}.\vec{A})$. Vamos mostrar que a lagrangeana

$$L=T-U = T-q\phi +\frac{q}{c}\vec{v}.\vec{A}$$ (3)

descreve o movimento de uma partícula sob a ação da força $\vec{F}$. Aqui, como de costume, $T$ representa a energia cinética. De fato,

$$\frac{\partial L}{\partial x} = - q\frac{\partial \phi}{\pa... ...} + \frac{\partial }{\partial x}(\frac{q}{c}\vec{v}.\vec{A})$$

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\equiv \frac{\partial L}{\partial v_x}= \frac{\partial T}{\partial v_x}+\frac{q}{c}A_x$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v_x}=\frac{d}{dt}(\frac{\partial T} {\partial v_x})+\frac{q}{c}\frac{dA_x}{dt}$$

Logo, a equação de Lagrange, $\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial v_x}=0$, dá

$$-q\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{\partial }{\partia... ...frac{\partial T}{\partial v_x}) + \frac{q}{c}\frac{dA_x}{dt}$$

de modo que

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial v_x}) = q\{ -\vec{\... ...frac{1}{c}\vec{v}.\vec{A})-\frac{1}{c}\frac{d\vec{A}}{dt}\}_x$$

Mas

$$\frac{\partial T}{\partial v_x}=\frac{\partial }{\partial v_x}(\frac{1}{2} m\vec{v}^2)=mv_x$$

de maneira que

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial v_x})=(m\vec{v})_x \; .$$

Logo,

$$m\dot{\vec{v}}=q\{-\vec{\nabla}(\phi - \frac{1}{c}\vec{v}.\vec{A})-\frac{1}{c} \frac{d\vec{A}}{dt}\}$$ (4)

Conclusão: $L=T-q\phi +\frac{q}{c}\vec{v}.\vec{A}$. Passemos agora à construção do hamiltoniano.

$$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}=\frac{\partial T}... ...rac{q}{c}\frac{\partial}{\partial \dot{q}_i}(\vec{v}.\vec{A})$$

$$\frac{\partial}{\partial\dot{q}_i}(\vec{v}.\vec{A})=A_i$$

e, então,

$$p_i=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}+\frac{q}{c}A_i$$

Precisamos agora de uma propriedade importante das funções homogêneas, o teorema de Euler (ver Apêndice):

$$\sum_i\dot{q}_i\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}=2T$$

Vamos usá-lo para calcular o Hamiltoniano $H$:

$$H = \sum_i\dot{q}_i(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}+\frac{q}{c}A_i)-T +q\phi + \frac{q}{c}\vec{v}.\vec{A}$$

$$= 2T + \frac{q}{c}\vec{v}.\vec{A}-T+q\phi+\frac{q}{c}\vec{v}.\vec{A}$$ (5)

ou seja,

$$H=T+q\phi$$ (6)

Ora, $p_i=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}+\frac{q}{c}\vec{A}_i= m\vec{v}+\frac{q}{c}\vec{A}$, pois $T=\frac{m\vec{v}^2}{2}$. Logo,

$$m\vec{v}=\vec{p}-\frac{q}{c}\vec{A}$$

e, finalmente,

$$H=\frac{1}{2m}(\vec{p}-\frac{q}{c}\vec{A})^2+q\phi$$ (7)

Em palavras, no Hamiltoniano livre

$$H=\frac{1}{2m}\vec{p}^2$$

substituo $\vec{p}$ por $\vec{p}-\frac{q}{c}\vec{A}$, e adiciono $q\phi$. Esta é a chamada substituição mínima, ou acoplamento mínimo. Se o hamiltoniano for mais geral, do tipo

$$H=\frac{1}{2m}\vec{p}^2 + V(\vec{r})$$

onde $V(\vec{r})$ é a energia potencial, a mesma regra vale. Adicione-se $q\Phi$ e substitua-se $\vec{p}$ por $\vec{p}-\frac{q}{c}\vec{A}$. Se houver várias partículas, de momentos $\vec{p}_i$, faça-se a mesma substituição para cada $\vec{p}_i$, adicionando-se termos de energia potencial $q_i\phi$ para cada partícula. Essas generalizações são fáceis de demonstrar, seguindo exatamente o padrão do caso de uma partícula livre.

Apêndice



O teorema de Euler

Uma função $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ é dita homogênea de grau $k$ se

$$f(\lambda x_1, \lambda x_2, ..., \lambda x_n) = \lambda ^k f(x_1, x_2, ..., x_n)$$ (8)

Por exemplo, $f(x,y)= xy$ é homogênea de grau 2; $f(x,y,z)= x^2y+3z^2x+5xyz$ é homogênea de grau 3. O teorema de Euler diz que, se $f$ é uma função homogênea de grau $k$, então

$$\sum_ix_i\frac{\partial f}{\partial x_i}= k f$$ (9)

A demonstração é muito simples. Derive a Eq. 8 em relação a $\lambda$, e depois tome $\lambda = 1$.