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Interação Eletromagnética
Formalismo Hamiltoniano

O problema que estudaremos aqui é o seguinte: uma partícula de massa

e carga

está sob ação de um campo eletromagnético descrito por $\vec{E}$ e $\vec{B}$ . Determinar o Hamiltoniano da partícula. Não fosse pelo campo eletromagnético, o Hamiltoniano seria o de uma partícula livre,

$\begin{displaymath} H=\frac{\vec{p}\;^2}{2m}\; . \end{displaymath}$

A força que age sobre uma partícula de carga

, devida aos campos elétrico e magnético, é (força de Lorentz):

$\begin{displaymath} \vec{F} = q(\vec{E} + \frac{\vec{v}}{c}\times \vec{B}) \end{displaymath}$

Em termos dos potenciais, temos,

$\displaystyle \vec{E}$	$\textstyle =$	$\displaystyle -\vec{\nabla}\phi - \frac{1}{c}\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$
$\displaystyle \vec{B}$	$\textstyle =$	$\displaystyle rot \vec{A}$

Logo,

$\begin{displaymath} \vec{F}=q\{-\vec{\nabla}\phi - \frac{1}{c}[\frac{\partial\vec{A}} {\partial t}-\vec{v}\times rot\,\vec{A}]\} \end{displaymath}$

Como é bem sabido,¹

$\begin{displaymath} \frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{\partial\vec{A}}{\partial t} + (\vec{v}.\vec{\nabla})\vec{A} \; . \end{displaymath}$

Como $\vec{v}\times rot\,\vec{A} = \vec{\nabla}(\vec{v}. \vec{A})- (\vec{v}.\vec{\nabla}) \vec{A}$ , temos

$\displaystyle \vec{F}$	$\textstyle =$	$\displaystyle q\{-\vec{\nabla}\phi - \frac{1}{c}[\frac{d\vec{A}}{dt} -(\vec{v}.... ...\nabla})\vec{A}-\vec{\nabla}(\vec{v}.\vec{A}) +(\vec{v}.\vec{\nabla})\vec{A}]\}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle q\{-\vec{\nabla}\phi - \frac{1}{c}[\frac{d\vec{A}}{dt}- \vec{\nabla}(\vec{v}.\vec{A})]\}$	(1)

ou seja,

$\begin{displaymath} \vec{F}= q[-\vec{\nabla}(\phi - \frac{1}{c}\vec{v}.\vec{A}) -\frac{1}{c}\frac{d\vec{A}}{dt}] \;. \end{displaymath}$

(2)

Seja $U=q(\phi - \frac{1}{c}\vec{v}.\vec{A})$ . Vamos mostrar que a lagrangeana

$\begin{displaymath} L=T-U = T-q\phi +\frac{q}{c}\vec{v}.\vec{A} \end{displaymath}$

(3)

descreve o movimento de uma partícula sob a ação da força $\vec{F}$ . Aqui, como de costume,

representa a energia cinética. De fato,

$\begin{displaymath} \frac{\partial L}{\partial x} = - q\frac{\partial \phi}{\pa... ...} + \frac{\partial }{\partial x}(\frac{q}{c}\vec{v}.\vec{A}) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\equiv \frac{\partial L}{\partial v_x}= \frac{\partial T}{\partial v_x}+\frac{q}{c}A_x \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v_x}=\frac{d}{dt}(\frac{\partial T} {\partial v_x})+\frac{q}{c}\frac{dA_x}{dt} \end{displaymath}$

Logo, a equação de Lagrange, $\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial v_x}=0$ , dá

$\begin{displaymath} -q\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{\partial }{\partia... ...frac{\partial T}{\partial v_x}) + \frac{q}{c}\frac{dA_x}{dt} \end{displaymath}$

de modo que

$\begin{displaymath} \frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial v_x}) = q\{ -\vec{\... ...frac{1}{c}\vec{v}.\vec{A})-\frac{1}{c}\frac{d\vec{A}}{dt}\}_x \end{displaymath}$

Mas

$\begin{displaymath}\frac{\partial T}{\partial v_x}=\frac{\partial }{\partial v_x}(\frac{1}{2} m\vec{v}^2)=mv_x \end{displaymath}$

de maneira que

$\begin{displaymath} \frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial v_x})=(m\vec{v})_x \; . \end{displaymath}$

Logo,

$\begin{displaymath} m\dot{\vec{v}}=q\{-\vec{\nabla}(\phi - \frac{1}{c}\vec{v}.\vec{A})-\frac{1}{c} \frac{d\vec{A}}{dt}\} \end{displaymath}$

(4)

Conclusão: $L=T-q\phi +\frac{q}{c}\vec{v}.\vec{A}$ . Passemos agora à construção do hamiltoniano.

$\begin{displaymath} p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}=\frac{\partial T}... ...rac{q}{c}\frac{\partial}{\partial \dot{q}_i}(\vec{v}.\vec{A}) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \frac{\partial}{\partial\dot{q}_i}(\vec{v}.\vec{A})=A_i \end{displaymath}$

e, então,

$\begin{displaymath} p_i=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}+\frac{q}{c}A_i \end{displaymath}$

Precisamos agora de uma propriedade importante das funções homogêneas, o teorema de Euler (ver Apêndice):

$\begin{displaymath} \sum_i\dot{q}_i\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}=2T \end{displaymath}$

Vamos usá-lo para calcular o Hamiltoniano

$\displaystyle H$	$\textstyle =$	$\displaystyle \sum_i\dot{q}_i(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}+\frac{q}{c}A_i)-T +q\phi + \frac{q}{c}\vec{v}.\vec{A}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle 2T + \frac{q}{c}\vec{v}.\vec{A}-T+q\phi+\frac{q}{c}\vec{v}.\vec{A}$	(5)

ou seja,

$\begin{displaymath} H=T+q\phi \end{displaymath}$

(6)

Ora, $p_i=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}+\frac{q}{c}\vec{A}_i= m\vec{v}+\frac{q}{c}\vec{A}$ , pois $T=\frac{m\vec{v}^2}{2}$ . Logo,

$\begin{displaymath} m\vec{v}=\vec{p}-\frac{q}{c}\vec{A} \end{displaymath}$

e, finalmente,

$\begin{displaymath} H=\frac{1}{2m}(\vec{p}-\frac{q}{c}\vec{A})^2+q\phi \end{displaymath}$

(7)

Em palavras, no Hamiltoniano livre

$\begin{displaymath} H=\frac{1}{2m}\vec{p}^2 \end{displaymath}$

substituo $\vec{p}$ por $\vec{p}-\frac{q}{c}\vec{A}$ , e adiciono $q\phi$ . Esta é a chamada substituição mínima, ou acoplamento mínimo. Se o hamiltoniano for mais geral, do tipo

$\begin{displaymath} H=\frac{1}{2m}\vec{p}^2 + V(\vec{r}) \end{displaymath}$

onde $V(\vec{r})$ é a energia potencial, a mesma regra vale. Adicione-se $q\Phi$ e substitua-se $\vec{p}$ por $\vec{p}-\frac{q}{c}\vec{A}$ . Se houver várias partículas, de momentos $\vec{p}_i$ , faça-se a mesma substituição para cada $\vec{p}_i$ , adicionando-se termos de energia potencial $q_i\phi$ para cada partícula. Essas generalizações são fáceis de demonstrar, seguindo exatamente o padrão do caso de uma partícula livre.

Apêndice

O teorema de Euler

Uma função