O teorema de Helmholtz

À medida que formos nos aprofundando no eletromagnetismo não poderemos deixar de notar a freqüência com que os operadoes diferenciais div e rot aparecerão nas nossas equações.

O teorema de Helmholtz que descreveremos a seguir explica este fato. Por enquanto não daremos uma demonstração dele. Na última parte destas notas um tratamento detalhado (mas talvez um pouco avançado demais para o terceiro semestre) deste e de outro teorema famoso de Helmholtz, porá a casa em ordem. Por enquanto queremos entender o teorema. Provar é outra coisa.⁶

Seja $\vec{v}(x,y,z)$ um campo vetorial que se anula no infinito. O teorema de Helmholtz diz que este campo está completamente determinado se conhecermos, em todos os pontos, as funções $\vec{\nabla}.\vec{v}$ e $\vec{\nabla}\times \vec{v}$. Mais precisamente, sejam $\vec{v}$ e $\vec{w}$ dois campos vetoriais que se anulam no infinito. Então, se

$$\vec{\nabla}.\vec{v}=\vec{\nabla}.\vec{w}$$ (109)

e

$$\vec{\nabla}\times \vec{v}= \vec{\nabla}\times \vec{w} \; ,$$ (110)

segue que $\vec{v}=\vec{w}$.
Exemplos:
(1)O exemplo mais trivial. Consideremos um campo vetorial $\vec{v}$ que se anula no infinito e seja tal que $\vec{\nabla}.\vec{v}=0$ e $\vec{\nabla}\times \vec{v}=0$. Ora, o campo $\vec{v}=0$ em todos os pontos se anula no infinito (!) e tem rotacional e divergente nulos. Portanto, pelo teorema de é o único que satisfaz a essas condições. Note-se que a condição de se anular no infinito é essencial. De fato, um campo uniforme, isto é, $\vec{v}=\vec{K}$, onde $\vec{K}$ é um vetor constante, tem também divergente e rotacional nulos. Logo, abrindo mão da condição de se anular no infinito, existem infinitos campos com divergente e rotacional nulos.
(2) Considere o campo vetorial $\vec{E} = \frac{\vec{r}}{r^3}$, que é o campo elétrico de uma carga puntiforme de valor 1 colocada na origem. Temos, $\vec{\nabla}\times \vec{E}=0$. Logo, $\vec{\nabla}.\vec{E}$ não pode ser zero. No entanto, se calcularmos, sem pensar muito, esse divergente, acharemos o valor zero!. Vejam:

$$div \vec{E}= div \frac{\vec{r}}{r^3} = \frac{1}{r^3}div \vec{r} +\vec{\nabla}\left(\frac{1}{r^3}\right).\vec{r}$$

$$= \frac{3}{r^3}-\frac{3}{r^4}\vec{\nabla}r.\vec{r}$$

$$= \frac{3}{r^3}-\frac{3}{r^4}\frac{\vec{r}}{r}.\vec{r}$$

$$= \frac{3}{r^3}-\frac{3}{r^3}=0$$ (111)

Onde está o erro? A função $\frac{\vec{r}}{r^3}$ não é contínua, e muito menos diferenciável, no ponto $r=0$. Então o resultado do nosso cálculo só vale para $r\neq 0$. E, de fato, veremos depois que, usando métodos indiretos, podemos atribuir um valor (não nulo) ao divergente deste campo na origem.
(3) Considere uma distribuição conínua de cargas, constante no tempo, e que não se estende ao infinito. Neste caso, logo no início do curso veremos que o rotacional do campo elétrico é zero em todos os pontos, e que o divergente desse campo é proporcional à densidade de carga elétrica.