\documentclass[a4paper,12pt]{report}
\usepackage[latin9]{inputenc}
\usepackage{float}
\usepackage{bm}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{center}
{\bf PGF5001 - MECÂNICA QUÂNTICA I (2010)\\
Lista de Problemas 2\\
Entrega: }
\end{center}

\[|z,+\rangle\]
\[|z,-\rangle\]
\[|\mathbf{n},+\rangle\]
\[|\mathbf{n},-\rangle\]
\[S_{z}=\frac{\hbar}{2}\]
\[S_{z}=-\frac{\hbar}{2}\]
\[S_{\mathbf{n}}=\frac{\hbar}{2}\]
\[S_{\mathbf{n}}=-\frac{\hbar}{2}\]

Se $[\hat{A},\hat{B}]\neq 0$, então $\hat{A}$ e $\hat{B}$ são observáveis {\it incompatíveis}.

Não existe mais uma base cujos vetores sejam autovetores simultâneos dos observáveis incompatíveis $\hat{A}$ e $\hat{B}$.

Sejam $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$ três observáveis incompatíveis. Considere a sequência de medidas mostrada abaixo:

\begin{enumerate}
\item Qual é a probabilidade de numa medida de $\hat{B}$ acharmos o valor $b_{j}$ e numa posterior medida de $\hat{C}$ acharmos o valor $c_{k}$?

Essa probabilidade é
\[P_{a_{i}\rightarrow b_{j}\rightarrow c_{k}}=|\langle c_{k}|b_{j}\rangle|^{2}|\langle b_{j}|a_{i}\rangle|^{2}.\]
Medida interpretada como um processo de filtragem que seleciona apenas o estado $|b_{j}\rangle$ numa medida de $\hat{B}$.

\item Agora considere uma sequência de medidas como no caso anterior, a diferença sendo que medimos o observável $\hat{B}$ sem selecionar o vetor de estado.

Nesse caso a probabilidade é:
\[P_{a_{i}\rightarrow B\rightarrow c_{k}}=\sum_{b_{j}}{|\langle c_{k}|b_{j}\rangle|^{2}|\langle b_{j}|a_{i}\rangle|^{2}}.\]

\item Vamos comparar o processo onde medimos $\hat{B}$ sem selecionar com o processo onde não fazemos a medida de $\hat{B}$.

Nesse caso a probabilidade é igual a

\[P_{a_{i}\rightarrow c_{k}}=|\langle c_{k}|a_{i}\rangle|^{2}\]
\end{enumerate}

Para entender a diferença entre medir sem selecionar e não medir. Note que:
\begin{eqnarray*}
P_{a_{i}\rightarrow b_{j}\rightarrow c_{k}}&=&|\langle c_{k}|b_{j}\rangle|^{2}|\langle b_{j}|a_{i}\rangle|^{2}=|\mathcal{A}_{a_{i}\rightarrow b_{j}\rightarrow c_{k}}|^{2}\\
P_{a_{i}\rightarrow B\rightarrow c_{k}}&=&\sum_{b_{j}}{|\langle c_{k}|b_{j}\rangle|^{2}|\langle b_{j}|a_{i}\rangle|^{2}}=\sum_{b_{j}}{|\mathcal{A}_{a_{i}\rightarrow b_{j}\rightarrow c_{k}}|^{2}}\\
P_{a_{i}\rightarrow c_{k}}&=&|\langle c_{k}|a_{i}\rangle|^{2}=\left|\sum_{b_{j}}{\mathcal{A}_{a_{i}\rightarrow b_{j}\rightarrow c_{k}}}\right|^{2}
\end{eqnarray*}
onde $\mathcal{A}_{a_{i}\rightarrow b_{j}\rightarrow c_{k}}=\langle c_{k}|b_{j}\rangle\langle b_{j}|a_{i}\rangle$ é a amplitude de probabilidade da partícula inicialmente no estado $|a_{i}\rangle$ mudar para o estado $|c_{k}\rangle$ através do estado intermediário $|b_{j}\rangle$. A transição através de um dado $|b_{j}\rangle$ define um caminho.

No caso 1 o filtro de Stern-Gerlach que mede $\hat{B}$ seleciona apenas o estado $|b_{j}\rangle$. Consequentemente só existe um caminho e a probabilidade é o módulo ao quadrado da amplitude de probabilidade da partícula percorrer esse caminho.

No caso 2 quando medimos $\hat{B}$ sem selecionar identificamos o caminho percorrido pela partícula e a probabilidade é igual a soma das probabilidades da partícula percorrer os diversos caminhos.

Quando não medimos o observável $\hat{B}$ não sabemos que caminho a partícula percorreu e a probabilidade é igual ao módulo ao quadrado da amplitude total dada pela soma das amplitudes de probabilidade da partícula percorrer os diversos caminhos.

\[P_{a_{i}\rightarrow c_{k}}=\sum_{j}{|\mathcal{A}_{a_{i}\rightarrow b_{j}\rightarrow c_{k}}|^{2}}+\sum_{j\neq l}{\mathcal{A}_{a_{i}\rightarrow b_{j}\rightarrow c_{k}}\mathcal{A}_{a_{i}\rightarrow b_{l}\rightarrow c_{k}}^{\star}}.\]

A diferença entre elas está no termo de interferência entre amplitudes de probabilidades da partícula se encontrar em caminhos diferentes.

Isto não quer dizer que a partícula está simultaneamente em dois caminhos diferentes pois nesse caso não podemos associar a partícula um caminho. Entretanto se identificamos o caminho esse termo de interferência desaparece, e 3 se reduz a 2.

\vspace{1cm}

A equação de autovalores para o operador hermiteano $\hat{B}$ é
\[\hat{B}|b^{\prime}\rangle=b^{\prime}|b^{\prime}\rangle.\]

Se conhecemos a ação de $\hat{B}$ numa base,
\[\hat{B}|a_{i}\rangle=\sum_{j}{|a_{j}\rangle\langle a_{j}|\hat{B}|a_{i}\rangle}\]
e se escrevemos o autovetor $|b^{\prime}\rangle$ como uma combinação linear dos estados da base $\{|a_{i}\rangle\}$,
\[|b^{\prime}\rangle=\sum_{i}{c_{i}|a_{i}\rangle},\;\;\;\;\;\; c_{i}=\langle a_{i}|b^{\prime}\rangle,\]
a equação de autovalores pode ser escrita como

\[B^{\prime}c^{\prime}=b^{\prime}c^{\prime}\]
onde $c^{\prime}$ é uma matriz coluna cujas componentes são os coeficientes da expansão do autovetor na base $\{|a_{i}\rangle\}$ e $B^{\prime}$ é a matriz hermiteana que representa $\hat{B}$ nessa base.

Reduzimos o problema de achar os autovalores e autovetores de um operador hermiteano ao problema de achar os autovalores e autovetores de uma matriz hermiteana que é a representação de $\hat{B}$ numa dada base.

Autovalores da matriz são os autovalores do operador e os autovetores da matriz são as matrizes colunas que representam os autovetores na base de partida.

\begin{enumerate}
\item Cálculo dos autovalores

Autovalores da matriz $B$ são determinadas pela equação característica
\[\det(B-b^{\prime})=0.\]
Se a dimensão da matriz $B$ é $N$, esta equação é uma equação algébrica de grau $N$ em $b^{\prime}$ e ela possui $N$ raízes reais incluindo a multiplicidade (degenerescência).


\item Cálculo dos autovetores

Para cada autovalor $b^{\prime}_{l}$ resolvemos o sistema de $N$ equações lineares homogêneas para os coeficientes $c_{i}^{\prime(l)}$, com condição de normalização
\[\langle b^{\prime}_{l}|b^{\prime}_{l}\rangle=\sum_{i}{|c_{i}^{\prime(l)}|^{2}}=1.\]
\end{enumerate}

Existem duas bases: a base de partida $\{|a_{i}\rangle\}$ e a base de autovetores de $\hat{B}$, $\{|b_{j}\rangle\}$.

Existe um operador unitário que transforma a base de partida $\{|a_{i}\rangle\}$ na base de autovetores de $\hat{B}$, $\{|b_{j}\rangle\}$:
\[|b_{i}\rangle=\hat{U}|a_{i}\rangle=\sum_{j}{|a_{j}\rangle U_{ji}}\;\;\;\;\;\; U_{ji}=\langle a_{j}|\hat{U}|a_{i}\rangle=c_{j}^{(i)}.\]

Representação de $\hat{B}$ na base de seus autovetores e na base de partida estão relacionadas pela transformação unitária
\[B^{\prime}=U^{\dagger}BU.\]

A matriz que representa $\hat{B}$ na base de seus autovetores, $B^{\prime}$, é uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal são os autovalores de $B$, dizemos então que $B$ é diagonalizada pela transformação unitária $U$.

\vspace{2cm}

Equação de autovalores para um operador $\hat{G}$:
\[\hat{G}|g\rangle=g|g\rangle.\]
O número, em geral complexo, $g$ é o autovalor e $|g\rangle$ o autovetor.

\vspace{1cm}

{\bf Correspondência:} Variáveis dinâmicas clássicas $\rightarrow$ operadores hermiteanos

\[\hat{A}|a\rangle=a|a\rangle\;\;\;\;\;\; \hat{A}^{\dagger}=\hat{A}.\]

Propriedades da equação de autovalores para operadores hermiteanos:
\begin{enumerate}
\item Autovalores são reais;
\item Autovetores com diferentes autovalores são ortogonais;
\item Autovetores de um operador hermiteano definem uma base no espaço de vetores de estado.
\end{enumerate}

\begin{itemize}
\item {\bf Caso não-degenerado:} Existe apenas um autovetor para um dado autovalor. Relação biunívoca entre o autovalor e o correspondente autovetor.

Rótulo identificador, o autovalor:
\[\langle a_{i}|a_{j}\rangle=\delta_{ij}\;\;\;\;\;|\alpha\rangle=\sum_{a_{i}}{|a_{i}\rangle\langle a_{i}|\alpha\rangle}.\]

\item {\bf Caso degenerado:} Quando existe mais de um autovetor com o mesmo autovalor. Se o operador é hermiteano pode-se mostrar que se $d_{i}$ é a ordem de degenerescência existem $d_{i}$ autovetores linearmente independentes que podem ser ortogonalizados. Entretanto nesse caso não existe uma relação biunívoca entre o autovalor e o correspondente autovetor.

No subespaço degenerado a equação de autovalores fica igual a
\[\hat{A}|a_{i},k\rangle=a_{i}|a_{i},k\rangle\;\;\;\;\;\;k=1,\ldots,d_{i},\]
onde $k$ é um rótulo que seleciona um vetor de estado no subespaço degenerado

\[\langle a_{i},k|a_{j},l\rangle=\delta_{ij}\delta_{kl}\;\;\;\;\;|\alpha\rangle=\sum_{a_{i},k=1}^{d_{i}}{|a_{i},k\rangle\langle a_{i},k|\alpha\rangle}.\]

\end{itemize}
\end{document}