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\begin{document}

Dispersão das medidas de um observável $\hat{A}$, se o sistema está no estado $|O\rangle$
\begin{itemize}
\item {\bf Definição:}
\[\sigma_{A}^{2}=\sum_{i}{\left(a_{i}-\langle\hat{A}\rangle_{O}\right)^{2}p(a_{i},O)}=\sum_{i}{a_{i}^{2}p(a_{i},O)}-\left(\sum_{i}{a_{i}p(a_{i},O)}\right)^{2}\]

\item Expressão da dispersão (variância, desvio quadrático médio)
\[\sigma_{A}^{2}=\langle O|\hat{A}^{2}|O\rangle-\langle O|\hat{A}|O\rangle^{2}=\langle O|(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle_{O})^{2}|O\rangle\]

\item Dispersão nula se e somente se,
\[(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle_{O})|O\rangle=0\]
isto é, se o estado do sistema for um autovetor de $\hat{A}$.
\end{itemize}

\begin{center}
{\bf Princípio da incerteza}
\end{center}

$\hat{A}$ e $\hat{B}$ dois observáveis incompatíveis. Nesse caso vale a desigualdade:
\[\sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2}\geq \frac{1}{4}|\langle O|[\hat{A},\hat{B}]|O\rangle|^{2}\]

Demonstração baseada em três propriedades:
\begin{enumerate}
\item Desigualdade de Schwarz
\[\langle\alpha|\alpha\rangle\langle\beta|\beta\rangle\geq |\langle\alpha|\beta\rangle|^{2}\]
Igualdade se e somente se $|\alpha\rangle+\lambda|\beta\rangle=0$.

\item Valor médio de um operador hermiteano é um número real.

\item Valor médio de um operador anti-hermiteano é um número imaginário puro.
\end{enumerate}

{\it Prova:}
\[|\alpha\rangle=(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle_{O})|O\rangle=\hat{A}_{D}|O\rangle\]
\[|\beta\rangle=(\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle_{O})|O\rangle=\hat{B}_{D}|O\rangle\]
$\hat{A}_{D}$ e $\hat{B}_{D}$ são operadores hermiteanos.

De 1. temos que
\[\sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2}\geq |\langle O|\hat{A}_{D}\hat{B}_{D}|O\rangle|^{2}.\]


Expressão para o produto de dois operadores
\[\hat{A}_{D}\hat{B}_{D}=\frac{1}{2}[\hat{A}_{D},\hat{B}_{D}]+\frac{1}{2}\{\hat{A}_{D},\hat{B}_{D}\}\]
onde
\[[\hat{A}_{D},\hat{B}_{D}]=\hat{A}_{D}\hat{B}_{D}-\hat{B}_{D}\hat{A}_{D}, \textrm{comutador}\]
\[\{\hat{A}_{D},\hat{B}_{D}\}=\hat{A}_{D}\hat{B}_{D}+\hat{B}_{D}\hat{A}_{D}, \textrm{anti-comutador}\]
\[\sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2}\geq\frac{1}{4}\left(|\langle O|[\hat{A}_{D},\hat{B}_{D}]|O\rangle|^{2}+|\langle O|\{\hat{A}_{D},\hat{B}_{D}\}|O\rangle|^{2}\right)\]
\[\sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2}\geq \frac{1}{4}|\langle O|[\hat{A},\hat{B}]|O\rangle|^{2}\]
Em geral o princípio da incerteza depende do estado do sistema, $|O\rangle$.

Igualdade ocorre estados que satisfazem as relações:

\begin{enumerate}
\item $(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle_{O})|O\rangle=-\lambda(\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle_{O})|O\rangle$

\item $\langle O|\left\{(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle_{O}),(\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle_{O})\right\}|O\rangle=0$
\end{enumerate}

Valor médio anti-comutador nulo $\rightarrow$ $\lambda+\lambda^{\star}=0$ e $\lambda=\frac{\langle O|[\hat{A},\hat{B}]|O\rangle}{2\sigma_{B}^{2}}$

Estado de incerteza mínima
\[(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle_{O})|O\rangle=-\lambda(\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle_{O})|O\rangle\]
com $\lambda$ imaginário puro determinado acima.
\end{document}