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\begin{document}

\title{Estrutura geral da Mec\^{a}nica Qu\^{a}ntica}
\maketitle

\vspace{-1cm}

Neste cap\'{i}tulo desenvolveremos o formalismo da Mec\^{a}nica Qu\^{a}ntica. Terminologia, nota\c{c}\~{a}o e base matem\'{a}tica necess\'{a}ria para descrever a estrutura da teoria e que permite estender a interpreta\c{c}\~{a}o estat\'{i}stica para qualquer observ\'{a}vel. No desenvolvimento do formalismo enunciaremos os princ\'{i}pios fundamentais da Mec\^{a}nica Qu\^{a}ntica e discutiremos os conceitos necess\'{a}rios para entend\^{e}-los.

\section {Postulados da Mec\^{a}nica Qu\^{a}ntica}

\newtheorem{Postulado}{Postulado}

\begin{Postulado}
O estado do sistema \'{e} representado por um vetor num espa\c{c}o vetorial complexo munido de um produto escalar hermiteano, o espa\c{c}o de vetores de estado.
\end{Postulado}
\uline{Nota\c{c}\~{a}o}: vetor de estado, $|\psi\rangle $.\\
\uline{Produto escalar de dois vetores}: $|\phi\rangle$ e $|\psi\rangle$, $\langle\phi|\psi\rangle$.

\begin{Postulado}
[Generaliza\c{c}\~{a}o da hip\'{o}tese estat\'{i}stica]
Os observ\'{a}veis s\~{a}o representados por operadores hermiteanos. O
resultado da medida de um observ\'{a}vel $\hat{A}$ \'{e} um dos seus
autovalores. A probabilidade de acharmos  o valor $a_{i}$ numa medida
de $\hat{A}$, se o sistema est\'{a} no estado $|\psi\rangle$, \'{e} o
m\'{o}dulo ao quadrado do produto escalar de $|\psi\rangle$
com o  autovetor de $\hat{A}$ com autovalor $a_{i}$,
\[p(a_{i},\psi)=|\langle a_{i}|\psi\rangle|^{2},\]
\[\hat{A}|a_{i}\rangle=a_{i}|a_{i}\rangle.\]
\end{Postulado}

\begin{Postulado}
[Redu\c{c}\~{a}o do pacote de onda]
Se numa medida do observ\'{a}vel $\hat{A}$ acharmos o valor $a_{i}$, o 
sistema muda de um modo abrupto para o auto-estado de $\hat{A}$ com 
esse autovalor.\\
{\bf Caso particular:} se o sistema est\'{a} num auto-estado do
observ\'{a}vel $\hat{A}$ de autovalor $a_{i}$, numa medida desse
observ\'{a}vel acharemos $a_{i}$
 com certeza e o estado do sistema n\~{a}o muda.
\end{Postulado}

%\begin{figure}[H]
%\begin{centering}
%\includegraphics[scale=0.6]{\string"C:/Documents and Settings/Eduardo Toshio/Desktop/Chapter3_MQ1/pacote\string".png}
%\par\end{centering}
%\end{figure}

\section{Espa\c{c}o dos vetores de estado}
Vamos retomar o enunciado do postulado 1.

	O estado do sistema \'{e} representado por um vetor num espa\c{c}o
vetorial complexo munido de um produto escalar hermiteano, o
espa\c{c}o de vetores de estado.\\
\uline{{\it Observa\c{c}\~{a}o sobre nota\c{c}\~{a}o:}} vamos adotar uma
nota\c{c}\~{a}o para os vetores de estado devido a Dirac,
$|\alpha\rangle $, onde $ \alpha $ \'{e} o r\'{o}tulo identificador
do vetor de estado.\\


Um espa\c{c}o vetorial consiste de um conjunto de vetores,
$(|\alpha\rangle ,|\beta\rangle, |\gamma\rangle, \ldots)$, e um
conjunto de escalares $(a, b, c, \ldots)$ onde est\~{a}o definidas
duas  opera\c{c}\~{o}es, adi\c{c}\~{a}o de  vetores e
multiplica\c{c}\~{a}o por um escalar.\\

\begin{itemize}
\item
{\bf Adi\c{c}\~{a}o de vetores:} A soma de dois vetores \'{e} outro vetor,
	\[|\alpha\rangle + |\beta\rangle = |\gamma\rangle.\]
A adi\c{c}\~{a}o de dois vetores é {\it comutativa},
	\[|\alpha\rangle + |\beta\rangle = |\beta\rangle + |\alpha\rangle,\]
e {\it associativa},
	\[|\alpha\rangle + (|\beta\rangle + |\gamma\rangle) = (|\alpha\rangle + |\beta\rangle) + |\gamma\rangle.\]
Existe um vetor nulo $|\otimes\rangle$ tal que
	\[|\alpha\rangle + |\otimes\rangle = |\alpha\rangle\]
para qualquer $|\alpha\rangle$.\\ 
Para qualquer vetor $|\alpha\rangle$, existe um vetor que \'{e} o seu 
inverso tal que
\[|\alpha\rangle + |-\alpha\rangle = |\otimes\rangle.\]
	
\item
{\bf Multiplica\c{c}\~{a}o por um escalar:} A multiplica\c{c}\~{a}o de um vetor por um escalar \'{e} outro vetor,
  \[a|\alpha\rangle = |\gamma\rangle.\]
A multiplica\c{c}\~{a}o por um escalar \'{e} {\it distributiva} com respeito \`{a} adi\c{c}\~{a}o de vetores,
  \[a(|\alpha\rangle + |\beta\rangle) = a|\alpha\rangle + a|\beta\rangle,\]
e com respeito \`{a} adi\c{c}\~{a}o de escalares,
  \[(a+b)|\alpha\rangle = a|\alpha\rangle + b|\alpha\rangle.\]
\'{E} {\it associativa} com respeito \`{a} multiplica\c{c}\~{a}o de escalares,
  \[a(b|\alpha\rangle) = (ab)|\alpha\rangle.\]
\end{itemize}



\subsection{Produto Escalar}
O espa\c{c}o de vetores de estado \'{e} munido de um produto escalar
hermiteano.\\
O produto escalar \'{e} uma opera\c{c}\~{a}o que associa a todo par de
vetores,$ |\alpha\rangle,|\beta\rangle $, um n\'{u}mero complexo
denotado pelo s\'{i}mbolo $\langle\beta|\alpha\rangle$, satisfazendo
as seguintes propiedades :\\ 
a) $\langle\beta|\alpha\rangle = \langle\alpha|\beta\rangle^{*}$\\
b) $\langle\alpha|(|\beta\rangle + |\gamma\rangle) = \langle\alpha|
\beta\rangle + \langle\alpha|\gamma\rangle$\\
c) $\langle\alpha|c\beta\rangle = c\langle\alpha|\beta\rangle$\\ 
d) $\langle\alpha|\alpha\rangle = \langle\alpha|\alpha\rangle^{*} \geq
0, \langle\alpha|\alpha\rangle=0$ se e somente se $ |\alpha\rangle = 
|\otimes\rangle $\\
Das propiedades a) e c) segue que $\langle c\alpha|\beta\rangle = 
c^{*}\langle\alpha|\beta\rangle$\\
E das propiedades a) e b) segue que $(\langle b \beta |+\langle
 c\gamma)|\alpha
\rangle = b^{*}\langle\beta|\alpha\rangle + c^{*}\langle\gamma|\alpha
\rangle$\\

\vspace{0.5cm}

\uline{{\bf Exerc\'{i}cio 1:}}\\ 
a) Deduza a {\bf desigualdade de Schwarz}:
  \[|\langle\alpha|\beta\rangle|^{2} \leq \langle\alpha|\alpha\rangle
\langle\beta|\beta\rangle.\]
b) Deduza a {\bf desigualdade  triangular}:
\[||\alpha + \beta|| \leq ||\alpha|| + ||\beta|| \]
\subsection{Base no espa\c{c}o dos vetores de estado}

\vspace{0.5cm}

Um dado vetor $|\chi\rangle$ \'{e} {\it linearmente independente} do conjunto de vetores $|\alpha\rangle, |\beta\rangle, |\gamma\rangle, \ldots$ se ele n\~{a}o pode ser escrito como uma combina\c{c}\~{a}o linear desses vetores,
\[|\chi\rangle \neq a|\alpha\rangle + b|\beta\rangle + c|\gamma\rangle
+ \ldots\]
Um conjunto de vetores é linearmente independente se cada um deles
\'{e} independente do resto. Um tal conjunto define uma {\it base} no
espa\c{c}o vetorial se qualquer vetor puder ser escrito como uma
combina\c{c}\~{a}o linear dos vetores do conjunto , 
\[ | \alpha\rangle = a_{1}|\phi_{1}\rangle + a_{2}|\phi_{2}\rangle + 
\ldots + a_{n}|\phi_{n}\rangle\]
O n\'{u}mero de vetores da base define a dimens\~{a}o do espaço vetorial.A
dimens\~{a}o pode ser finita, enumer\'{a}vel infinita,
n\~{a}o-enumer\'{a}vel infinita.\\
A {\it norma} de um vetor \'{e} definida como:
\[||\alpha|| = \sqrt{\langle\alpha|\alpha\rangle}.\]
Se $\langle\alpha|\alpha\rangle = 1 $ o vetor $|\alpha\rangle $ \'{e} 
normalizado.
Se $\langle\alpha| \beta\rangle= 0 $ os vetores s\~{a}o ortogonais.
Numa base ortonormal os vetores da base s\~{a}o ortogonais e normalizados. 
\[\langle\phi_{i}|\phi_{j}\rangle = \delta_{ij}\]
Com respeito a uma dada base, qualquer vetor pode ser expresso  como uma
combina\c{c}\~{a}o linear dos vetores da base,
\[|\alpha\rangle = \sum_{k} a_{k}|\phi_{k}\rangle.\]
Os coeficientes  da  expans\~{a}o , $ a_{k}$, que s\~{a}o as
componentes  do vetor $ |\alpha \rangle $ na dire\c{c}\~{a}o dos
 vetores da base,s\~{a}o dados pelo produto escalar do vetor 
$|\alpha\rangle$ com cada vetor da base,
\[a_{k}=\langle \phi_{k} |\alpha\rangle \]

\vspace{0.5cm}

\uline{{\bf Exerc\'{i}cio 2:}} Mostre que $a_{k}=\langle \phi_{k} |\alpha\rangle$.\\

\vspace{0.5cm}

Veja que

\[\langle\phi_{k}|\alpha\rangle
=\sum_{i}a_{i}\langle\phi_{k}|\phi_{i}\rangle =
\sum_{i}{a_{i}\delta_{ki}} = a_{k}.\]

Assim, temos que
 \[|\alpha\rangle = \sum_{k}{|\phi_{k}\rangle\langle\phi_{k}|\alpha\rangle}.\]

\vspace{0.5cm}

\uline{{\bf Exerc\'{i}cio 3:}} Mostre que o produto escalar de dois vetores pode ser escrito em
 termos de suas componentes numa dada base ortonormal como
 \[\langle\alpha|\beta\rangle = \sum_{i}{a_{i}^{*}b_{i}}.\]

\vspace{0.5cm}
 
O dado \'{e} a expans\~{a}o dos vetores $ |\alpha\rangle $ e 
$|\beta\rangle$ numa base ortonormal 
 \[|\alpha\rangle = \sum_{i}{a_{i}|\phi_{i}\rangle}\]
  \[|\beta\rangle = \sum_{i}{b_{i}|\phi_{i}\rangle}\]
Calculando explicitamente o produto escalar:
  \[\langle\alpha|\beta\rangle = \sum_{i}{b_{i}\langle\alpha|\phi_{i}\rangle} = \sum_{i}{b_{i}\langle\phi_{i}|\alpha\rangle^{*}}\] 
e levando em conta que $\langle\phi_{i}|\alpha\rangle = a_{i}$
conclu\'{i}mos que:
  \[\langle\alpha|\beta\rangle = \sum_{i}{a_{i}^{*}b_{i}}.\]



 


\section{Operadores Lineares}
Operadores s\~{a}o objetos que transformam um vetor em outro vetor,
  \[\hat{T}|\alpha\rangle = |\hat{T}\alpha\rangle = |\beta\rangle.\]
Um operador \'{e} {\it linear} se vale a propriedade

\begin{eqnarray*}
\hat{T}(a|\alpha\rangle + b|\beta\rangle) &=& a\hat{T}|\alpha\rangle + b\hat{T}|\beta\rangle\\
&=& a|\hat{T}\alpha\rangle + b|\hat{T}\beta\rangle
\end{eqnarray*}
para quaisquer vetores $|\alpha\rangle$ e $\beta\rangle$ e quaisquer escalares $a$ e $b$.\

A soma e o produto de operadores lineares pode ser definida de forma natural atrav\'{e}s das rela\c{c}\~{o}es:
\begin{eqnarray*}
(\hat{X}+\hat{Y})|\alpha\rangle &=& \hat{X}|\alpha\rangle + \hat{Y}|\alpha\rangle,\\
(\hat{X}\hat{Y})|\alpha\rangle &=& \hat{X}(\hat{Y}|\alpha\rangle).
\end{eqnarray*}
A soma de operadores \'{e} {\it comutativa} e {\it associativa}:
\begin{eqnarray*}
\hat{X}+\hat{Y} &=& \hat{Y}+\hat{X},\\
\hat{X}+(\hat{Y}+\hat{Z}) &=& (\hat{X}+\hat{Y})+\hat{Z}.
\end{eqnarray*}
O produto de operadores em geral \'{e} {\it n\~{a}o-comutativo}
	\[\hat{X}\hat{Y} \neq \hat{Y}\hat{X}\]
mas \'{e} {\it associativo}
	\[\hat{X}(\hat{Y}\hat{Z}) = (\hat{X}\hat{Y})\hat{Z}.\]

A a\c{c}\~{a}o de um operador em qualquer vetor $|\alpha\rangle$
est\'{a} determinada se sabemos sua a\c{c}\~{a}o nos vetores de uma
 base no espa\c{c}o dos vetores de estado:

\begin{eqnarray*}
\hat{T}|\phi_{1}\rangle &=& T_{11}|\phi_{1}\rangle + T_{22}|\phi_{2}\rangle + \ldots + T_{n1}|\phi_{n}\rangle\\
\vdots\\
\hat{T}|\phi_{n}\rangle &=& T_{1n}|\phi_{1}\rangle + T_{2n}|\phi_{2}\rangle + \ldots + T_{nn}|\phi_{n}\rangle,
\end{eqnarray*}
ou seja,
  \[\hat{T}|\phi_{i}\rangle = \sum_{j}{|\phi_{j}\rangle T_{ji}}\]
onde
  \[T_{ji} = \langle\phi_{j}|\hat{T}|\phi_{i}\rangle.\]

Se $ |\alpha^{\prime}\rangle $ \'{e} o vetor de estado transformado pela 
a\c{c}\~{a}o do operador $\hat T $ no vetor $ |\alpha\rangle $
  \[|\alpha^{\prime}\rangle = \hat{T}|\alpha\rangle\]
vamos mostrar que os $ T_{ij}$ relaciona os coeficientes da
expans\~{a}o desses vetores na base $\{|\phi_{i}\rangle \} $.
\[|\alpha\rangle = \sum_{i}{a_{i}|\phi_{i}\rangle}\]
\[|\alpha^{\prime}\rangle = \sum_{i}{a^{\prime}_{i}|\phi_{i}\rangle}.\]
Veja que
\[\hat{T}|\alpha\rangle = \sum_{i}{a_{i}\hat{T}|\phi_{i}\rangle} =
\sum_{i,j}{|\phi_{j}\rangle T_{ji}a_{i}}\]
Comparando
\[|\alpha^{\prime}\rangle = \sum_{j}{a^{\prime}_{j}|\phi_{j}\rangle} = \sum_{i,j}{|\phi_{j}\rangle T_{ji}a_{i}}.\]
temos que
  \[a^{\prime}_{j} =\sum_{i} T_{ji}a_{i}.\]
ou,  em forma matricial,
\[ a^{\prime}= T a \]

Assim vemos que a matriz $T$ transforma um vetor de componentes $ 
( a_{1}, a_{2},\ldots)$ num de componentes $ ( a_{1}^{\prime},
a_{2}^{\prime},\ldots ) $.\\
Concluindo,fixamos os vetores dando os  coeficientes de sua
 expans\~{a}o numa base ortonormal.No caso de operadores,
determinando sua a\c{c}\~{a}o  nos vetores de uma  base ortonormal.\\ 
Formalizando as observa\c{c}\~{o}es acima vamos associar a cada vetor
 $|\alpha\rangle$ uma matriz coluna cujos
elementos s\~{a}o o conjunto ordenado dos coeficientes da expans\~{a}o
de $|\alpha\rangle$ numa dada base ortonormal , ${ |\phi_{i}\rangle} $.
Essa matriz coluna \'{e} a representa\c{c}\~{a}o do vetor  $|\alpha\rangle$
 na base  ${ |\phi_{i}\rangle} $.\\
Do mesmo modo, a cada operador vamos associar uma matriz cujos
elementos s\~{a}o determinados pela a\c{c}\~{a}o do operador nos vetores
de uma dada base ortonormal.Essa matriz \'{e} a representa\c{c}\~{a}o 
do operador na base ${ |\phi_{i}\rangle }$.\\  
Assim, dada uma base, temos:
\[|\alpha\rangle \leftrightarrow \alpha^{T}= (a_{1}, a_{2}, \ldots,
a_{n}),\] 
e
\[\hat{T}\longleftrightarrow T=\left(\begin{array}{cccc}
T_{11} & T_{12} & \cdots & T_{1n}\\
T_{21} & T_{22} & \cdots & T_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
T_{1n} & T_{2n} & \cdots & T_{nn}\end{array}\right).\]\\

\vspace{0.5cm}

\uline{{\bf Exerc\'{i}cio 4:}} Seja $\hat{Z}$ o produto de  dois operadores
  \[\hat{Z} = \hat{Y}\hat{X}\]
Mostre que a matriz que representa $\hat{Z} $ numa dada base
ortonormal,\'{e} o produto das matrizes que representam  $\hat{X}
e\hat{Y}$ nessa mesma base.\\

\vspace{0.5cm}

Seja 
\[\hat{X} |\phi_{j}\rangle=\sum_{i}|\phi_{i}\rangle X_{i,j}\]  
	
\[\hat{Y} |\phi_{j}\rangle=\sum_{i}|\phi_{i}\rangle Y_{i,j}\]  
Ent\~{a}o \\	
\[\hat{X} |\phi_{j}\rangle=\sum_{i}|\phi_{i}\rangle X_{i,j}\]
e
\[ \hat{Y}\hat{X} |\phi_{j}\rangle=\sum_{i}\hat{Y}|\phi_{i}\rangle
 X_{i,j}=\sum_{i,k}|\phi_{k}\rangle Y_{k,i} X_{i,j}\]
Mas,
\[\hat{Z} |\phi_{i}\rangle=\sum_{k}|\phi_{k}\rangle Z_{k,i}\]  
Comparando , temos que,	
\[ Z_{k,i}=\sum_{j}Y_{k,j}X_{j,I}\]
ou
\[ Z=YX \]

\subsection{Operadores hermiteanos. Operadores unit\'{a}rios}
Na formula\c{c}\~{a}o da Mec\^{a}nica Qu\^{a}ntica se destacam duas classes de operadores lineares, operadores hermiteanos e operadores unit\'{a}rios. Para estabelecer as propriedades desses operadores, vamos associar a cada operador $\hat{T}$, um outro operador $\hat{T}^{\dagger}$, denominado de operador hermiteano conjugado de $\hat{T}$, onde $\hat{T}^{\dagger}$ \'{e} definido pela rela\c{c}\~{a}o,
	\[\langle\alpha|\hat{T}^{\dagger}|\beta\rangle=\langle\beta|\hat{T}|\alpha\rangle^{*}.\]
Como consequ\^{e}ncia dessa rela\c{c}\~{a}o, a matriz que representa $\hat{T}^{\dagger}$ numa dada base \'{e} a transposta complexa conjugada da matriz que representa $\hat{T}$,
  \[T_{ij}^{\dagger}=T_{ji}^{*}.\]
Em outras palavras a matriz que representa $\hat{T}^{\dagger}$ é a matriz hermiteana conjugada da matriz que representa $\hat{T}$.

Operadores hermiteanos são iguais aos seus hermiteanos conjugados
  \[\hat{T}^{\dagger}=\hat{T}.\]
Nesse caso a matriz que representa $\hat{T}$ numa dada base \'{e} uma matriz hermiteana. Uma matriz hermiteana \'{e} igual a sua hermiteana conjugada
  \[T_{ij}=T_{ji}^{*}.\]

Quando existe, o operador inverso do operador $\hat{U}$, $\hat{U}^{-1}$, \'{e} definido pela rela\c{c}\~{a}o
  \[\hat{U}\hat{U}^{-1}=\hat{U}^{-1}\hat{U}=\hat{1}\]
onde $\hat{1}$ \'{e} o operador unidade. Consequentemente as matrizes que representam esses operadores satisfazem \`{a} rela\c{c}\~{a}o
  \[UU^{-1}=U^{-1}U=1\]
onde 1 \'{e} a matriz unidade.

Um operador \'{e} unit\'{a}rio se o seu inverso \'{e} igual ao seu 
hermiteano conjugado
  \[\hat{U}^{-1}=\hat{U}^{\dagger}\]
  \[\hat{U}^{\dagger}\hat{U}=\hat{U}\hat{U}^{\dagger}==\hat{1}.\]
Matrizes cujas inversas s\~{a}o iguais as suas hermiteanas conjugadas 
s\~{a}o chamadas de matrizes unit\'{a}rias.

\subsection{Mudan\c{c}a de base}
Dado um vetor e um operador linear definidos no espa\c{c}o de vetores de estado, as componentes do vetor e os elementos da matriz que representa o operador linear dependem da escolha da base. Ent\~{a}o podemos perguntar como esses n\'{u}meros mudam quando consideramos bases diferentes.

Para responder essas quest\~{o}es considere duas bases ortonormais no espa\c{c}o de vetores de estado: $\{|\psi_{i}\rangle\}$ e $\{|\phi_{i}\rangle\}$,
	\[\langle\psi_{i}|\psi_{j}\rangle=\delta_{ij},\]
	\[\langle\phi_{i}|\phi_{j}\rangle=\delta_{ij}.\]

Os vetores das duas bases est\~{a}o relacionados por uma transforma\c{c}\~{a}o linear
 \[|\psi_{i}\rangle=\hat{S}|\phi_{i}\rangle=\sum_{j}{|\phi_{j}
\rangle S_{ji}}\]
onde
	\[S_{ji}=\langle\phi_{j}|\psi_{i}\rangle=\langle\phi_{j}|\hat{S}|\phi_{i}\rangle\]
$\hat{S}$ \'{e} um operador unit\'{a}rio. Para mostrar essa propriedade vamos calcular $\langle\psi_{i}|\psi_{j}\rangle=\delta_{ij}$:
	\[\langle\psi_{i}|\psi_{j}\rangle=\delta_{ij}=\sum_{k}{\langle\psi_{i}|\phi_{k}\rangle S_{kj}}.\]
Mas
	\[\langle\phi_{k}|\psi_{i}\rangle=\sum_{j}{\langle\phi_{k}|\phi_{j}\rangle S_{ji}}=S_{ki}.\]
Como $\langle\psi_{i}|\phi_{k}\rangle=\langle\phi_{k}|\psi_{i}\rangle^{*}=
S_{ki}^{*}$ temos que
\[\delta_{ij}=\sum_{k}{S_{ki}^{*}S_{kj}}=\sum_{k}{(S^{\dagger})_{ik}S_{kj}}\]
ou
\[S^{\dagger}S=1\]
garantindo que $S$ \'{e} uma matriz unit\'{a}ria. Como a
representa\c{c}\~{a}o de um operador unit\'{a}rio \'{e} uma matriz
unit\'{a}ria conclu\'{i}mos que o operador que relaciona os vetores de
duas bases distintas \'{e} um operador unit\'{a}rio.\\
Note que o fato da transforma\c{c}\~{a}o ser unit\'{a}ria \'{e} uma 
consequ\^{e}ncia direta dela ser entre bases ortonormais.\\

Para responder a pergunta de como as componentes da expansão de um vetor de estado se transformam considere a expansão de um vetor nas duas bases,
	\[|\alpha\rangle=\sum_{i}{a_{i}^{(\phi)}|\phi_{i}\rangle}=\sum_{i}{a_{i}^{(\psi)}|\psi_{i}\rangle}\]
onde $a_{i}^{(\phi)}$ significa o coeficiente da expans\~{a}o de $|\alpha\rangle$ na base $\{|\phi_{i}\rangle\}$, analogamente nos outros casos.

Para determinar como os coeficientes se transformam considere os passos explicitados abaixo
\[a_{i}^{(\psi)}=\langle\psi_{i}|\alpha\rangle=\sum_{j}{\langle\psi_{i}|\phi_{j}\rangle a_{j}^{(\phi)}}=\sum_{j}{\langle\phi_{j}|\psi_{i}\rangle^{*} a_{j}^{(\phi)}}=\sum_{j}{S_{ji}^{*} a_{j}^{(\phi)}}\]
mostrando que
	\[a_{i}^{(\psi)}=\sum_{j}{(S^{\dagger})_{ij}a_{j}^{(\phi)}}\]
ou na forma matricial
	\[a^{(\psi)}=S^{\dagger}a^{(\phi)}.\]
	
A quest\~{a}o agora \'{e} como a matriz que representa um operador linear \'{e} modificada pela  mudan\c{c}a de base. Para isto considere a representa\c{c}\~{a}o de $\hat{T}$ nas duas bases
\[\hat{T}|\psi_{i}\rangle=\sum_{j}{|\psi_{j}\rangle T_{ji}^{(\psi)}}\]
e
\[\hat{T}|\phi_{i}\rangle=\sum_{j}{|\phi_{j}\rangle T_{ji}^{(\phi)}}.\]
	
Os passos para determinar como as matrizes se transformam s\~{a}o os seguintes

\begin{eqnarray*}
T_{ji}^{(\psi)}&=&\langle\psi_{j}|\hat{T}|\psi_{i}\rangle=\sum_{k}{\langle\psi_{j}|\hat{T}|\phi_{k}\rangle S_{ki}}=\sum_{k,l}{\langle\psi_{j}|\phi_{l}\rangle T_{lk}^{(\phi)}S_{ki}}\\
&=&\sum_{k,l}{\langle\phi_{l}|\psi_{j}\rangle^{*} T_{lk}^{(\phi)}S_{ki}}=\sum_{k,l}{S_{lj}^{*}T_{lk}^{(\phi)}S_{ki}}.
\end{eqnarray*}

Ap\'{o}s  todos esses passos vemos que
	\[T_{ji}^{(\psi)}=\sum_{k,l}{S_{jl}^{\dagger}T_{lk}^{(\phi)}S_{ki}}\]
ou, em termos matriciais
	\[T^{(\psi)}=S^{\dagger}T^{(\phi)}S\]
indicando que as matrizes que representam o operador $\hat{T}$
est\~{a}o relacionadas por uma transforma\c{c}\~{a}o unit\'{a}ria.



\section {Autovetores e autovalores de um operador hermiteano}
A equa\c{c}\~{a}o de autovalores para um operador $\hat{T}$ \'{e} dada
por:
\[\hat{T}|\alpha\rangle = \lambda|\alpha\rangle\]
onde $|\alpha\rangle$ \'{e} o autovetor de $\hat{T}$ 
 e $\lambda$ o corespondente autovalor.\\
Nesta se\c{c}\~{a}o vamos investigar as propiedades da equa\c{c}\~{a}o
de autovalores quando $\hat{T} $ \'{e} um operador hermiteano. 
Um operador  {\it hermiteano}  \'{e} igual ao seu
hermiteano conjugado, $ \hat{T}^{\dagger} = \hat{T}.$
Como consequ\^{e}ncia dessa propiedade a matriz que
representa um operador hermiteano numa dada base \'{e} uma matriz hermiteana
$ T_{ij} = T_{ji}^{*}.$\\

\subsection {Propriedades}

\begin{enumerate}
\item {\it Os autovalores de um operador hermiteano s\~{a}o reais.}\\
{\bf Prova:} Seja $\lambda$ um autovalor de $\hat{T}$, 
\[\hat{T}|\alpha\rangle = \lambda|\alpha\rangle.\]
Ent\~{a}o,
\[\langle\alpha|\hat{T}|\alpha\rangle =\lambda \langle\alpha|\alpha\rangle\] 
Como $\hat{T}$ \'{e} um operador hermiteano, vale as rela\c{c}\~{o}es
mostradas abaixo :
\[\langle\alpha|\hat{T}|\alpha\rangle =\langle\alpha|\hat{T}^{\dagger}|
\alpha\rangle^{*} =  \langle\alpha|\hat{T}|\alpha\rangle^{*} = \lambda^{*} 
\langle\alpha|\alpha\rangle\]
Igualando , temos que
\[(\lambda - \lambda^{*})\langle\alpha|\alpha\rangle = 0.\]
Como o autovetor tem norma n\~{a}o nula, $\langle\alpha|\alpha\rangle 
\neq 0 $, conclu\'{i}mos que $\lambda = \lambda^{*}$  ,isto  \'{e}, 
$ \lambda $ \'{e} real.
\item {\it Autovetores com autovalores distintos s\~{a}o ortogonais.}\\
{\bf Prova:} Sejam $\lambda_{1}$ e $\lambda_{2}$ dois autovalores
distintos de $\hat{T}$,$\lambda_{1} \neq \lambda_{2}$, ou seja,
\begin{eqnarray*}
\hat{T}|\alpha_{1}\rangle &=&\lambda_{1} |\alpha_{1}\rangle\\
\hat{T}|\alpha_{2}\rangle &=& \lambda_{2}|\alpha_{2}\rangle.
\end{eqnarray*}
Ent\~{a}o
\[\langle\alpha_{2}|\hat{T}|\alpha_{1}\rangle = \lambda_{1}
\langle\alpha_{2}|\alpha_{1}\rangle\]
Usando o fato de $\hat{T} $ ser um operador hermiteano para calcular
esse mesmo elemento de matriz, achamos que
\[\langle\alpha_{2}|\hat{T}|\alpha_{1}\rangle=\langle\alpha_{1}|
\hat{T}^{\dagger}|\alpha_{2}\rangle^{*}=\langle\alpha_{1}|
\hat{T}|\alpha_{2}\rangle^{*}=\lambda_{2}\langle\alpha_{1}|
\alpha_{2}\rangle^{*}=\lambda_{2}\langle\alpha_{2}|\alpha_{1}\rangle\]
Igualando ,temos que	
\[(\lambda_{2}-\lambda_{1})\langle\alpha_{2}|\alpha_{1}\rangle=0\]
Como$\lambda_{1} \neq \lambda_{2}$concluimos que os autovetores
s\~{a}o ortogonais,
\[\langle\alpha_{2}|\alpha_{1}\rangle=0\]

\item
Resolu\c{c}\~{a}o da   equa\c{c}\~{a}o de autovalores.\\
Para resolver a equa\c{c}\~{a}o de autovalores 
\[\hat{T}|\alpha\rangle = \lambda|\alpha\rangle.\]
temos que determinar a representa\c{c}\~{a}o do operador hermiteano
numa dada base $\left\{|e_{i}\rangle\right\}$
\[\hat{T}|e_{i}\rangle = \sum_{j}{T_{ji}|e_{j}\rangle},\] 
com 
\[T_{j i}=\langle e_{j}|\hat{T}|e_{i}\rangle \] 
Expandindo os autovetores nessa mesma base , $\left\{|e_{i}\rangle\right\}$,	\[|\alpha\rangle = \sum_{i}{c_{i}|e_{i}\rangle},\]
podemos calcular facilmente	 
\[\hat{T}|\alpha\rangle = \sum_{i}c_{i}\hat{T}|e_{i}\rangle =
\sum_{i,j}c_{i}T_{ji}|e_{j}\rangle \]
e
\[\lambda|\alpha\rangle = \sum_{j}{\lambda c_{j}|e_{j}\rangle}.\]
Igualando, vemos que a equa\c{c}\~{a}o de autovalores fica igual a,
\[\sum_{i}{T_{ji}c_{i}}=\lambda c_{j}\] 
ou, na forma matricial
\[ Tc = \lambda c.\]
Assim reduzimos o problema de achar os autovalores e autovetores de um
operador hermiteano  ao problema de achar os autovalores e autovetores
de uma matriz hermiteana, a representa\c{c}\~{a}o do operador numa
dada base. Os autovalores dessa matriz s\~{a}o os autovalores do
operador e os autovetores s\~{a}o as componentes da expans\~{a}o
do autovetor nessa mesma base  . \\
\item
Calculo dos autovalores. Equa\c{c}\~{a}o caracter\'{i}stica.\\
A equa\c{c}\~{a}o de autovalores \'{e} um sistema de n equa\c{c}\~{o}es
lineares homog\^{e}neas , acopladas 
\[ \sum_{i}(T_{ji}-\delta_{ji})c_{i}=0 \]
que tem solu\c{c}\~{a}o  somente se o determinante das incognitas
\'{e} nulo
\[det (T- \lambda1)=0 \]
onde 1 \'{e} a matriz unidade de ordem n .\\
Calculando o determinante,chegamos numa equa\c{c}\~{a}o alg\'{e}brica 
de ordem n em $\lambda $, chamada de equa\c{c}\~{a}o caracter\'{i}stica
para os autovalores.O fato da matriz ser hermiteana garante que ela
tem n raizes reais incluindo a multiplicidade.Para cada
raiz,resolvemos o sistema de 
equa\c{c}\~{o}es lineares acopladas para achar as componentes 
dos  autovetores. 
\item  Os autovetores de um operador hermiteano formam uma base no 
espa\c{c}o dos vetores de estado.\\ 
Devemos distinguir dois casos :\\
{\bf Caso (i):}  Os autovalores s\~{a}o distintos.
Nesse caso vamos destacar duas propiedades.Uma, que os autovetores
s\~{a}o ortogonais.A outra que, nesse caso, existe uma rela\c{c}\~{a}o
bi-un\'{i}voca entre  autovetor e autovalor , o que permite rotular
o autovetor pelo correspondente autovalor,	
\[\hat{T}|\lambda_{i}\rangle = \lambda_{i}|\lambda_{i}\rangle,\]	
\[ \langle \lambda_{j}|\lambda_{i}\rangle=\delta_{ji}\]	
{\bf Caso {ii}:} Existe degeneresc\^{e}ncia\\
A degeneresc\^{e}ncia ocorre quando existe ra\'{i}zes com
multiplicidade diferente de $1$, por exemplo, o autovalor $\lambda_{i} $
 tem multiplicidade $d_{i} $ , isto \'{e} ,o autovalor $\lambda_{i}$ 
 tem degeneresc\^{e}ncia igual a $d_{i} $.\\ 
O fato da matriz ser hermiteana garante que no subespa\c{c}o degenerado
 existe $d_{i}$ vetores linearmente independentes que podem ser 
ortogonalizados, por exemplo, pelo método de Gram-Schmidt.\\
Diferente do caso anterior,n\~{a}o existe uma rela\c{c}\~{a}o
bi-un\'{i}voca entre  autovetor e autovalor , e precisamos outro
rotulo para selecionar um entre os $d_{i} $ autovetores degenerados.
Um exemplo de uma poss\'{i}vel escolha seria
$\left\{|\lambda_{i},\tau_{i k}\rangle\right\}$, $k = 1, \ldots,d_{i}$
 com ${d_{i}}$  sendo a ordem da degeneresc\^{e}ncia do autovalor
$\lambda_{i}$
\[\hat{T} |\lambda_{i},\tau_{i k}\rangle =\lambda_{i}|\lambda_{i},
\tau_{i k}\rangle \]
\[\langle \lambda_{i}, \tau_{i k}|\lambda_{j}, \tau_{j  l}\rangle =
\delta_{ij}\delta_{kl}.\]
\item
Diagonaliza\c{c}\~{a}o\\
Uma vez resolvida a equa\c{c}\~{a}o de autovalores,terminamos com duas
bases no espa\c{c}o dos vetores de estado:a base escolhida para 
resolver a equa\c{c}\~{a}o de autovalores e a base dos autovetores
do operador hermiteano $\hat{T} $.Como discutimos anteriormente,
as duas bases est\~{ao} relacionadas por uma transforma\c{c}\~{a}o
unit\'{a}ria,
\[ |\alpha_{k}\rangle=\hat{S}|e_{k}\rangle \]
onde o \'{i}ndice k estabelece uma ordena\c{c}\~{a}o
do conjunto dos autovetores de $\hat{T} $.\\
Os elementos da matriz S s\~{a}o determinados pelas componentes
 da expans\~{a}o dos autovetores na base $ \{ |e_{i}\rangle \}$,
\[ |\alpha_{k}\rangle=\sum_{j}|e_{j}\rangle S_{j k} \]
\[ |\alpha_{k}\rangle=\sum_{j}|e_{j}\rangle c_{j}^{(k))} \]
Comparando, vemos que os elementos da k-\'{e}sima coluna da matriz
 S s\~{a}o as componentes da expans\~{a}o do k-\'{e}simo autovetor 
na base $ \{|e_{j}\rangle\} $, $ S_{j k}= c_{j}^{(k)} $.
S gera uma transforma\c{c}\~{a}ounit\'{a}ria que  diagonaliza T: 
\[ \lambda= S^{\dagger}T S \]
onde  $\lambda $ \'{e} uma matriz diagonal cujos elementos da
diagonal s\~{a}o os autovalores de $ \hat{T}$, $\lambda_{i j}=
\lambda_{i} \delta_{i j}.$
\section {Equa\c{c}\~{a}o de Schrödinger dependente do tempo. 
Estados estacionários.}
\begin{enumerate}
\item O vetor de estado do sistema no instante $t$ \'{e} determinado resolvendo-se a equa\c{c}\~{a}o de Schrödinger dependente do tempo:
\[i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat{H}|\psi(t)\rangle\]
dado o vetor de estado no instante inicial $|\psi(t_{0})\rangle$, onde
 $\hat{H}$ \'{e} o operador hamiltoniana do sistema.

\item Os estados estacion\'{a}rios s\~{a}o caracterizados pela
 propriedade da depend\^{e}ncia temporal de $|\psi(t)\rangle$ 
 ser da  forma
 \[|\psi(t)\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar}Et}|\psi\rangle\]
A condi\c{c}\~{a}o para que $|\psi(t)\rangle $ seja uma solu\c{c}\~{a}o
da equa\c{c}\~{a}o de Schrödinger dependente do tempo \'{e} 
 $|\psi \rangle $ ser uma solu\c{c}\~{a}o
da equa\c{c}\~{a}o de Schrödinger independente do tempo  
 \[\hat{H}|\psi\rangle = E|\psi\rangle.\]
\item A equa\c{c}\~{a}o de Schrödinger independente do tempo  \'{e}
 uma equa\c{c}\~{a}o de autovalores para o operador hamiltoniana 
$\hat{H}$,o estado estacion\'{a}rio  $|\psi\rangle$ \'{e} o autovetor 
 e $E$ \'{e} o autovalor
\item Os autovalores de $\hat{H}$ s\~{a}o os n\'{i}veis de energia do sistema.
\item 
A equa\c{c}\~{a}o de autovalores fornece uma cole\c{c}\~{a}o de 
solu\c{c}\~{o}es $|\psi_{1}\rangle, |\psi_{2}\rangle, \ldots , 
|\psi_{n}\rangle $ associada as energias $E_{1}, E_{2}, \ldots,E_{n} $
caso exista,incluindo a multiplicidade.
Essa cole\c{c}\~{a}o de autovetores de $\hat{H}$ formam uma base,
no espa\c{c}o dos vetores de estado.
 \item A solu\c{c}\~{a}o mais geral da equa\c{c}\~{a}o de Schrödinger dependente do tempo pode ser escrita como uma combina\c{c}\~{a}o linear dos estados estacion\'{a}rios
\[|\psi(t)\rangle = \sum_{n}{c_{n}e^{-\frac{i}{\hbar}E_{n}(t-t_{0})}|
\psi_{n}\rangle}\]
onde os coeficientes $c_{n}$ s\~{a}o os coeficientes da expans\~{a}o
do estado inicial na base de estados estacion\'{a}rios 
  \[|\psi(t_{0})\rangle = \sum_{n}{c_{n}|\psi_{n}\rangle}\]
com
\[c_{n} = \langle\psi_{n}|\psi(t_{0})\rangle.\]
\end{enumerate}

\section {Princ\'{i}pio da incerteza}

\subsection{Valor m\'{e}dio e dispers\~{a}o das medidas de um observ\'{a}vel}
{\bf{Valor m\'{e}dio}}\\
Se o sistema est\'{a} no estado $|\psi\rangle$, a
probabilidade de numa medida do observ\'{a}vel $\hat{A}$
acharmos o valor $a_{i}$, \'{e} dado pelo m\'{o}dulo ao quadrado do produto escalar de $|\psi\rangle$ com o autovetor de $\hat{A}$ com autovalor $a_{1}$,
\[p(a_{i},\psi)=|\langle a_{i}|\psi\rangle|^{2}.\]
Por defini\c{c}\~{a}o o valor m\'{e}dio das medidas de um observ\'{a}vel $\hat{A}$ se o sistema est\'{a} no estado $|\psi\rangle$ \'{e} dado por
\[\langle\hat{A}\rangle=\sum_{i}{a_{i}p(a_{i},\psi)}=\sum_{i}{a_{i}|\langle a_{i}|\psi\rangle|^{2}}.\]
	
	Como os autovetores de $\hat{A}$ formam uma base, $|\psi\rangle$ pode ser escrito como uma combina\c{c}\~{a}o linear dos autovetores de $\hat{A}$,
	\[|\psi\rangle=\sum_{i}{c_{i}|a_{i}\rangle}\]
com
	\[c_{i}=\langle a_{i}|\psi\rangle.\]
Ent\~{a}o
	\[\hat{A}|\psi\rangle=\sum_{i}{c_{i}\hat{A}|a_{i}\rangle}=\sum_{i}{a_{i}\langle a_{i}|\psi\rangle|a_{i}\rangle}\]
e
	\[\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle=\sum_{i}{a_{i}\langle a_{i}|\psi\rangle\langle\psi|a_{i}\rangle}=\sum_{i}{a_{i}\langle a_{i}|\psi\rangle\langle a_{i}|\psi\rangle^{*}}=\sum_{i}{a_{i}|\langle a_{i}|\psi\rangle|^{2}}.\]
	
 Assim, o valor m\'{e}dio das medidas de $\hat{A}$, se o sistema
 est\'{a} no estado $|\psi\rangle$ \'{e} igual a
\[\langle\hat{A}\rangle=\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle.\]

{\bf{Dispers\~{a}o das medidas de $\hat{A}$}}\\  

Por defini\c{c}\~{a}o a dispers\~{a}o das medidas de $\hat{A}$ \'{e} dada por
\[\sigma_{A}^{2}=\sum_{i}{(a_{i}-\langle\hat{A}\rangle)^{2}p(a_{i},\psi)}.\]
Como
	\[(a_{i}-\langle\hat{A}\rangle)^{2}=a_{i}^{2}-2a_{i}\langle\hat{A}\rangle+\langle\hat{A}\rangle^{2}\]
a dispers\~{a}o fica igual a
  \[\sigma_{A}^{2}=\sum_{i}{(a_{i}^{2}-2a_{i}\langle\hat{A}\rangle+\langle\hat{A}\rangle^{2})p(a_{i},\psi)}.\]
Dado que
\[\sum_{i}{p(a_{i},\psi)}=\langle\psi|\psi\rangle=1,\]
\[\sum_{i}{a_{i}p(a_{i},\psi)}=\langle\hat{A}\rangle=\langle\psi|\hat{A}|
\psi\rangle,\]
	\[\sum_{i}{a_{i}^{2}p(a_{i},\psi)}=\langle\hat{A}^{2}\rangle=\langle\psi|\hat{A}^{2}|\psi\rangle\]
onde a \'{u}ltima rela\c{c}\~{a}o \'{e} facilmente deduzida se lembrarmos que
  \[\hat{A}^{2}|a_{i}\rangle=a_{i}^{2}|a_{i}\rangle.\]
chegamos a conclu\~{a}o que a dispers\~{a}o \'{e} dada pelo valor
m\'{e}dio de $\hat{A}^{2}$ menos o valor m\'{e}dio de $\hat{A}$ ao
quadrado

\[\sigma_{A}^{2}=\langle\psi|\hat{A}^{2}|\psi\rangle-\langle\psi|\hat{A}|
\psi\rangle^{2}\]
ou uma express\~{a}o equivalente
\[\sigma_{A}^{2}=\langle\psi|(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)^{2}|\psi\rangle.\]
A igualdade dessas duas express\~{o}es segue imediatamente de:
	\[(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)^{2}=\hat{A}^{2}-2\hat{A}\langle\hat{A}\rangle+\langle\hat{A}\rangle^{2}.\]

Como o valor m\'{e}dio de um operador hermiteano \'{e} um n\'{u}mero real,
\[\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle=\langle\psi|\hat{A}^{\dagger}|\psi\rangle^{*}=\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle^{*},\]
podemos concluir que a \'{u}ltima express\~{a}o de $\sigma_{A}^{2}$
\'{e} a norma ao quadrado do vetor de estado $|\alpha\rangle =
(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)|\psi\rangle  $:
\[\sigma_{A}^{2}=\langle\alpha|\alpha\rangle.\]
Vemos ent\~{a}o que a dispers\~{a}o se anula se e somente se
$|\alpha\rangle$  \'{e} o vetor nulo, $|\alpha\rangle=|\otimes\rangle$,
	\[(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)|\psi\rangle=|\otimes\rangle\]
ou
	\[\hat{A}|\psi\rangle=\langle\hat{A}\rangle|\psi\rangle\]
isto \'{e}, $|\psi\rangle$ \'{e} um autovetor de $\hat{A}$ com autovalor $\langle\hat{A}\rangle$.
\subsection{ Princ\'{i}pio da incerteza}
Vamos demonstrar que se $\hat{A}$ e $\hat{B}$ s\~{a}o dois
observ\'{a}veis vale a rela\c{c}\~{a}o de incerteza,
\[\sigma_{A}^{2} \sigma_{B}^{2} \geq
\frac{1}{4} |\langle\psi|[\hat{A},\hat{B}]|\psi\rangle|^{2} \]
onde$ [\hat{A},\hat{B}]$ \'{e} o comutador de $\hat{A}$ e $ \hat{B}$:
 \[[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\]

Observ\'{a}veis para os quais $ [\hat{A},\hat{B}]\neq 0$ s\~{a}o
chamados de observ\'{a}veis incompat\'{i}veis.Vemos ent\~{a}o que,
como existe um limite inferior para o produto das dispers\~{o}es,
elas n\~{a}o podem ser reduzidas independentemente.Por exemplo, 
se $ \hat{A},\hat{B}$ \'{e} um par de observ\'{a}veis incompat\'{i}veis,
qu\~{a}o mais precisa s\~{a}o as medidas de  $\hat{A} $ mais 
imprecisa s\~{a}o as de $\hat{B} $.
 Por outro lado,observ\'{a}veis para os quais $ [\hat{A},\hat{B}]= 0$ s\~{a}o
chamados de observ\'{a}veis compat\'{i}veis.Nesse caso n\~{a}o existe
nenhuma restri\c{c}\~{a}o quanto a precis\~{a}o das medidas desses
dois observ\'{a}veis.



\subsection {Prova do princ\'{i}pio da incerteza}
Para provar o princ\'{i}pio da incerteza vamos enunciar tr\^{e}s lemas:
\newtheorem{Lema}{Lema}
\begin{Lema} Desigualdade de Schwarz:
\[\langle\alpha|\alpha\rangle\langle\beta|\beta\rangle\geq|\langle\alpha|
\beta\rangle|^{2}.\]
\end{Lema}
{\it Prova:} Seja
$|\gamma\rangle=|\alpha\rangle+\lambda|\beta\rangle$. 
Ent\~{a}o a norma de $|\gamma\rangle$ \'{e} dada por :
\[\langle\gamma|\gamma\rangle=\langle\alpha|\alpha\rangle+\lambda\langle\alpha|\beta\rangle+\lambda^{*}\langle\beta|\alpha\rangle+|\lambda|^{2}\langle\beta|\beta\rangle.\]
Se $\lambda=-\frac{\langle\beta|\alpha\rangle}{\langle\beta|\beta\rangle}$
a norma de$|\gamma\rangle$ fica igual a,
\begin{eqnarray*}
\langle\gamma|\gamma\rangle&=&\langle\alpha|\alpha\rangle-\frac{|\langle\alpha|\beta\rangle|^{2}}{\langle\beta|\beta\rangle}\\
&=&\frac{\langle\alpha|\alpha\rangle\langle\beta|\beta\rangle-|\langle\alpha|\beta\rangle|^{2}}{\langle\beta|\beta\rangle}\geq0
\end{eqnarray*}
 portanto
\[\langle\alpha|\alpha\rangle\langle\beta|\beta\rangle\geq|\langle\alpha|\beta\rangle|^{2}.\]
A igualdade ocorre se $|\gamma\rangle=|\otimes\rangle$ ou
 $|\alpha\rangle=-\lambda|\beta\rangle$.

\begin{Lema} O valor m\'{e}dio de um operador hermiteano \'{e} real.
\end{Lema}
{\it Prova:}
 \[\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{A}^{\dagger}|
\psi\rangle^{*}  = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle^{*}\]

\begin{Lema} O valor m\'{e}dio de um operador anti-hermiteano \'{e} um 
imagin\'{a}rio puro.
\end{Lema}
 Um operador anti-hermiteano \'{e} igual a menos o seu
hermiteano conjugado,$\hat{A}^{\dagger}=-\hat{A}$\\
{\it Prova:}
\[\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{A}^{\dagger}|
\psi\rangle^{*}  = -\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle^{*}\] 

% Adicione a partir daqui.
Vamos come\c{c}ar a demonstra\c{c}\~{a}o do princ\'{i}pio da incerteza  
definindo dois vetores:
\begin{eqnarray*}
|\alpha\rangle &=& \Delta\hat{A}|\psi\rangle\\
|\beta\rangle &=& \Delta\hat{B}|\psi\rangle	
\end{eqnarray*}
onde, $\Delta\hat{A}=\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle$ e $\Delta\hat{B}=
\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle$s\~{a}o  operadores hermiteanos , veja
Lema 2.
Pelo exerc\'{i}cio 5 sabemos que a norma ao quadrado desses vetores 
\'{e} igual a dispers\~{a}o

\[\langle\alpha|\alpha\rangle =
\langle\psi|(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)^{2}|\psi\rangle=\sigma_{A}^{2}\]	e
\[\langle\beta|\beta\rangle = \langle\psi|(\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle)^{2}|\psi\rangle=\sigma_{B}^{2}.\]
No mesmo exerc\'{i}cio 5  mostramos que
\[\langle\alpha|\beta\rangle =\langle\psi|\Delta\hat{A}\Delta\hat{B}|
\psi\rangle.\]
O produto $\Delta\hat{A}\Delta\hat{B}$ pode ser escrito da seguinte forma
\[\Delta\hat{A}\Delta\hat{B}=\frac{1}{2}\{\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}\}+
\frac{1}{2}[\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}]\]
onde
\[[\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}]=\Delta\hat{A}\Delta\hat{B}-\Delta\hat{B}
\Delta\hat{A}\]
\'{e} o comutador de $\Delta\hat{A}$ e $\Delta\hat{B}$ e
\[\{\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}\}=\Delta\hat{A}\Delta\hat{B}+\Delta\hat{B}
\Delta\hat{A}\]
\'{e} o anti-comutador de $\Delta\hat{A}$ e $\Delta\hat{B}$.\\
Agora, vamos enunciar duas propiedades que usaremos na 
demonstra\c{c}\~{a}o. \\
i) O comutador de dois operadores hermiteanos \'{e} anti-hermiteano.\\
Sejam $\hat{C}$ e $\hat{D}$ dois operadores hermiteanos.	\[[\hat{C},\hat{D}]^{\dagger}=\hat{D}^{\dagger}\hat{C}^{\dagger}-\hat{C}^{\dagger}\hat{D}^{\dagger}=\hat{D}\hat{C}-\hat{C}\hat{D}=-[\hat{C},\hat{D}].\]
ii) O anti-comutador de dois operadores hermiteanos \'{e} hermiteano.\\
Sejam $\hat{C}$ e $\hat{D}$ dois operadores hermiteanos.
\[\{\hat{C},\hat{D}\}^{\dagger}=\hat{D}^{\dagger}\hat{C}^{\dagger}+\hat{C}^{\dagger}\hat{D}^{\dagger}=\hat{D}\hat{C}+\hat{C}\hat{D}=\{\hat{C},\hat{D}\}.\]
Os passos para deduzir o princ\'{i}pio da incerteza est\~{a}o na ordem
das propiedades discutidas acima.\\
Da desigualdade de Schwarz temos que
\begin{eqnarray*}
\sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2}&\geq&|\langle\psi|\Delta\hat{A}\Delta\hat{B}|\psi\rangle|^{2}\\
&\geq&\frac{1}{4}|\langle\psi|\{\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}\}|\psi\rangle+\langle\psi|[\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}]|\psi\rangle|^{2}\\
&\geq&\frac{1}{4}\left(|\langle\psi|\{\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}\}|\psi\rangle|^{2}+|\langle\psi|[\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}]|\psi\rangle|^{2}\right)\\
&\geq&\frac{1}{4}|\langle\psi|[\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}]|\psi\rangle|^{2}.
\end{eqnarray*}
Como,
\[[\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}]=[\hat{A},\hat{B}]\]
deduzimos o princ\'{i}pio da incerteza:
\[\sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2} \geq
\frac{1}{4}|\langle\psi|[\hat{A},\hat{B}]|\psi\rangle|^{2}\]
Estado de incerteza m\'{i}nima.\\
Naturalmente,o princ\'{i}pio da incerteza depende de $|\psi\rangle $
Desse modo,dado dois observ\'{a}veis incompat\'{i}veis,podemos achar 
o estado de incerteza m\'{i}nima,para o qual a desigualdade se torna 
 igualdade.\\
A igualdade ocorre quando,
	\[\langle\psi|\{\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}\}|\psi\rangle=0\]
	\[\Delta\hat{A}|\psi\rangle=-\lambda\Delta\hat{B}|\psi\rangle\]

A primeira das duas equa\c{c}\~{o}es acima,diz que o valor m\'{e}dio
do anti-comutador \'{e} nulo.Vamos examinar as consequ\^{e}ncias
dessa restri\c{c}\~{a}o.Usando a segunda das duas equa\c{c}\~{o}es ,
podemos mostrar que: 

\[\langle\psi|\Delta\hat{B}\Delta\hat{A}|\psi\rangle=-\lambda\langle
\psi|\Delta\hat{B}^{2}|\psi\rangle\]
\[\langle\psi|\Delta\hat{A}\Delta\hat{B}|\psi\rangle=\langle\psi|\Delta
\hat{B}\Delta\hat{A}|\psi\rangle^{*}=-\lambda^{*}\langle\psi|\Delta
\hat{B}^{2}|\psi\rangle\]
 O anti-comutador \'{e} nulo se 

\[(\lambda^{*}+\lambda)\langle\psi|\Delta\hat{B}^{2}|\psi\rangle=(\lambda^{*}+
\lambda)\sigma_{B}^{2}=0\]
Desse modo, conclu\'{i}mos que $\lambda$ \'{e} um n\'{u}mero
imagin\'{a}rio puro.
Usando as rela\c{c}\~{o}es acima podemos determinar o valor de
 $\lambda $ :
\[\langle\psi|[\hat{A},\hat{B}]|\psi\rangle=
\langle\psi|[\Delta\hat{A},\Delta\hat{B}]|\psi\rangle
=(\lambda-\lambda^{*})\sigma_{B}^{2}\]
Como $\lambda^{*}=-\lambda $,temos que $\lambda $ \'{e} dada por:
\[\lambda=\frac{\langle\psi|[\hat{A},\hat{B}]|\psi\rangle}
{2\sigma_{B}^{2}}\]
Resumindo, o estado de incerteza m\'{i}nima satisfaz a equa\c{c}\~{a}o
\[(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)|\psi\rangle=-\lambda(\hat{B}-\langle
\hat{B}\rangle)|\psi\rangle.\]
com  $\lambda $ calculado acima.\\
Princ\'{i}pio da incerteza de Heisenberg.\\
Os observ\'{a}veis no princ\'{i}pio da incerteza de Heisenberg , 
s\~{a}o os operadores posi\c{c}\~{a}o e momento, $\hat{x} , \hat{p} $
respectivamente.Como, $ [\hat{x} , \hat{p}] =i\hbar$, 
 o princ\'{i}pio da incerteza de Heisenberg \'{e} dado por:
\[\sigma_{x}^{2}\sigma_{p}^{2} \geq \frac{\hbar^{2}}{4}\]
Note que, nesse caso, o limite inferior n\~{a}o depende do estado.\\
Exerc\'{i}cio 5.\\
Mostre que, se $\hat{X} $ e $\hat{Y}$ s\~{a}o operadores hermiteanos
vale a identidade,
\[\langle\gamma|\delta\rangle=\langle\alpha|\hat{X}\hat{Y}|\beta
\rangle\]
onde,
\[|\gamma\rangle =\hat{X}|\alpha\rangle\]
\[|\delta\rangle =\hat{Y}|\beta\rangle\]
\subsection {Princ\'{i}pio da incerteza  energia-tempo}

Vamos examinar o princ\'{i}pio da incerteza no caso particular onde 
$ |\psi \rangle $ \'{e} o vetor de estado do sistema no instante t
e a hamiltoniana  um dos observ\'{a}veis,
\begin{eqnarray*}
|\psi\rangle &\rightarrow& |\psi(t)\rangle\\
\hat{A}&\rightarrow&\hat{A}\\
\hat{B}&\rightarrow&\hat{H}
\end{eqnarray*}

Pelo princ\'{i}pio da incerteza temos que:
\[\sigma_{A}^{2}\sigma_{H}^{2}\geq\frac{1}{4}|\langle\psi(t)|[\hat{A},
\hat{H}]|\psi(t)\rangle|^{2}.\]	
com as dispers\~{o}es de $\hat {A} $ e $\hat{H}$ iguais a,
\[\sigma_{A}^{2}=\langle\psi(t)|(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle)^{2}|\psi(t)\rangle=\langle\psi(t)|\hat{A}^{2}|\psi(t)\rangle-\langle\psi(t)|\hat{A}|\psi(t)\rangle^{2}\]
\[\sigma_{H}^{2}=\langle\psi(t)|(\hat{H}-\langle\hat{H}\rangle)^{2}|\psi(t)\rangle=\langle\psi(t)|\hat{H}^{2}|\psi(t)\rangle-\langle\psi(t)|\hat{H}|\psi(t)\rangle^{2}\]


Como, pelo exerc\'{i}cio seis,vale a identidade,      
\[ i \hbar\frac{d\langle\hat{A}\rangle}{dt}=\langle\psi(t)|[\hat{A},\hat{H}]
|\psi(t)\rangle.\]	
o  princ\'{i}pio da incerteza fica igual a,
\[\sigma_{A}^{2}\sigma_{H}^{2}\geq\frac{\hbar^{2}}{4}\left|\frac{d\langle\hat{A}\rangle}{dt}\right|^{2} \] 
Essa express\~{a}o sugere a introdu\c{c}\~{a}o de um tempo
caracter\'{i}stico dado por,
\[\tau_{A}=\frac{\sigma_{A}}{\left|\frac{d\langle\hat{A}\rangle}{dt}\right|}\]
e reescrever  a rela\c{c}\~{a}o da incerteza como,

\[\sigma_{H}\tau_{A}\geq\frac{\hbar}{2}\]
A interpreta\c{c}\~{a}o f\'{i}sica de $\tau_{A} $\'{e} identifica-lo 
com o tempo necess\'{a}rio para que o valor m\'{e}dio do
observ\'{a}vel $\hat{A}$ mude de um valor igual ao seu desvio
padr\~{a}o. Em outras palavras, \'{e} um tempo caracter\'{i}stico para
notarmos uma varia\c{c}\~{a}o do sistema.\\
Qualitativamente, podemos destacar dois limites:\\
a) $\sigma_{H}\rightarrow0$ , $\tau_{A}\rightarrow\infty$, o sistema 
n\~{a}o muda.Estado estacion\'{a}rio. \\
b) $\sigma_{H}\rightarrow\infty$, $\tau_{A}\rightarrow 0$, vetor de
estado com dispers\~{a}o da energia grande, tempo de mudan\c{c}a
 pequeno.\\
Exerc\'{i}cio 6 .\\
Mostre que ,
\[ i \hbar\frac{d\langle\hat{A}\rangle}{dt}=\langle\psi(t)|[\hat{A},\hat{H}]
|\psi(t)\rangle.\]
Sugest\~{a}o:Use  a expans\~{a}o de $|\psi(t)\rangle $ na base de
estados estacion\'{a}rios,
\[|\psi(t)\rangle =\sum_{n} c_{n}(t)|\psi_{n}\rangle \] 
com $c_{n}(t)=c_{n}(0)e^{-\frac{i}{\hbar} E_{n}t}$

\end{enumerate}

\section{Observ\'{a}veis que t\^{e}m um espectro cont\'{i}nuo}

At\'{e} aqui consideramos observ\'{a}veis cujo espectro era discreto. Contudo na Mec\^{a}nica Qu\^{a}ntica existem observ\'{a}veis com um cont\'{i}nuo de poss\'{i}veis valores. Por exemplo, a componente na dire\c{c}\~{a}o $z$ do operador momento, $p_{z}$, pode assumir qualquer valor real no intervalo entre $-\infty$ e $\infty$.

O tratamento rigoroso dos observ\'{a}veis cujo espectro \'{e} cont\'{i}nuo \'{e} matematicamente complicado pelo fato de lidar com espa\c{c}os vetoriais de dimens\~{a}o infinita. Felizmente muitas das propriedades deduzida para operadores com espectro discreto podem ser generalizadas para operadores com espectro cont\'{i}nuo.

\begin{enumerate}
\item {\bf Equa\c{c}\~{a}o de autovalores.}\\
a) Operador com espectro discreto:\\
\[\hat{A}|a_{i}\rangle=a_{i}|a_{i}\rangle\]
\[\langle a_{i}|a_{j}\rangle=\delta_{ij}.\]
b) Operador com espectro cont\'{i}nuo:\\
\[\hat{\xi}|\xi^{\prime}\rangle=\xi^{\prime}|\xi^{\prime}\rangle\]
\[\langle \xi^{\prime\prime}|\xi^{\prime}\rangle=\delta(\xi^{\prime\prime}-\xi^{\prime}).\]

Na generaliza\c{c}\~{a}o $|\xi^{\prime}\rangle$ \'{e} um autovetor de $\hat{\xi}$ com autovalor $\xi^{\prime}$ cuja normaliza\c{c}\~{a}o \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o delta de Dirac. Desse modo autovetores de um operador cujo espectro \'{e} cont\'{i}nuo n\~{a}o \'{e} normaliz\'{a}vel. Na verdade observ\'{a}veis cujo espectro \'{e} cont\'{i}nuo n\~{a}o t\^{e}m autovetores mas como veremos adiante eles definem uma base no espa\c{c}o de vetores de estado.

\item {\bf Autovetores de um observ\'{a}vel definem uma base no espa\c{c}o de vetores de estado.}\\
a) Caso discreto:\\
\[|\alpha\rangle=\sum_{i}{|a_{i}\rangle\langle\ a_{i}|\alpha\rangle}.\]
b) Caso cont\'{i}nuo:\\
\[|\alpha\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{d\xi^{\prime}|\xi^{\prime}\rangle\langle\xi^{\prime}|\alpha\rangle}.\]

No caso discreto a cada estado $|\alpha\rangle$ associamos uma matriz coluna cujas componentes s\~{a}o os coeficientes da expans\~{a}o de $|\alpha\rangle$ numa dada base
\[|\alpha\rangle\rightarrow(\langle a_{1}|\alpha\rangle, \langle a_{2}|\alpha\rangle,\ldots,\langle a_{n}|\alpha\rangle)^{T}.\]
No caso cont\'{i}nuo a cada estado $|\alpha\rangle$ associamos uma fun\c{c}\~{a}o $\langle\xi^{\prime}|\alpha\rangle$:
\[|\alpha\rangle\rightarrow\langle\xi^{\prime}|\alpha\rangle.\]

\item {\bf Produto escalar de dois vetores de estado.}\\
a) Caso discreto:\\
\[|\alpha\rangle=\sum_{i}{|a_{i}\rangle\langle\ a_{i}|\alpha\rangle}\ \ \ |\beta\rangle=\sum_{i}{|a_{i}\rangle\langle\ a_{i}|\beta\rangle}\]
\[\langle\alpha|\beta\rangle=\sum_{i}{\langle\ a_{i}|\alpha\rangle^{*}\langle\ a_{i}|\beta\rangle}.\]
b) Caso cont\'{i}nuo:\\
\[|\alpha\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{d\xi^{\prime}|\xi^{\prime}\rangle\langle\xi^{\prime}|\alpha\rangle}\ \ \ |\beta\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{d\xi^{\prime}|\xi^{\prime}\rangle\langle\xi^{\prime}|\beta\rangle}\]
\[\langle\alpha|\beta\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{d\xi^{\prime}\langle\xi^{\prime}|\alpha\rangle^{*}\langle\xi^{\prime}|\beta\rangle}.\]

\item {\bf A\c{c}\~{a}o de operadores numa dada base.}\\
a) Caso discreto:\\
\[\hat{X}|a_{i}\rangle=\sum_{j}{|a_{j}\rangle X_{ji}}\]
b) Caso cont\'{i}nuo:\\
\[\hat{X}|\xi^{\prime}\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{d\xi^{\prime\prime}|\xi^{\prime\prime}\rangle\langle\xi^{\prime\prime}|\hat{X}|\xi^{\prime}\rangle}.\]

$X_{ji}=\langle a_{j}|\hat{X}|a_{i}\rangle$, elemento $ji$ da matriz que representa $\hat{X}$ na base $\{|a_{i}\rangle\}$.\\
$\langle\xi^{\prime\prime}|\hat{X}|\xi^{\prime}\rangle$, fun\c{c}\~{a}o que representa $\hat{X}$ na base $\{|\xi^{\prime}\rangle\}$.
\end{enumerate}

\subsection {Operador posi\c{c}\~{a}o, $\hat{x}$.}
a) Autovetores:\\
\[\hat{x}|x^{\prime}\rangle=x^{\prime}|x^{\prime}\rangle.\]
b) Fun\c{c}\~{a}o de onda:\\
Expandindo um vetor de onda $|\alpha\rangle$ na base dos autovetores do operador posi\c{c}\~{a}o temos que
\[|\alpha\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{dx^{\prime}|x^{\prime}\rangle\langle x^{\prime}|\alpha\rangle}\]
onde $\langle x^{\prime}|\alpha\rangle$ \'{e} a {\it fun\c{c}\~{a}o de onda} do estado $|\alpha\rangle$
\[f_{\alpha}(x^{\prime})=\langle x^{\prime}|\alpha\rangle.\]
Generalizando o caso de observ\'{a}veis com espectro discreto, para cada vetor de estado $|\alpha\rangle$ vamos associar uma fun\c{c}\~{a}o $f_{\alpha}(x)=\langle x|\alpha\rangle$, a fun\c{c}\~{a}o de onda do estado $|\alpha\rangle$.\\
c) Produto escalar de dois vetores $|\alpha\rangle$ e $|\beta\rangle$.\\
Dado
\[|\alpha\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{dx^{\prime}|x^{\prime}\rangle\langle x^{\prime}|\alpha\rangle},\ \ \ |\beta\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{dx^{\prime}|x^{\prime}\rangle\langle x^{\prime}|\beta\rangle}\]
podemos mostrar que o produto escalar dos dois vetores \'{e} dado pela integral
\[\langle\alpha|\beta\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{dx^{\prime}f_{\alpha}(x^{\prime})^{*}f_{\beta}(x^{\prime})}\]
pois
\[\langle\alpha|\beta\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{dx^{\prime}\langle\alpha|x^{\prime}\rangle\langle x^{\prime}|\beta\rangle}=\int_{-\infty}^{+\infty}{dx^{\prime}\langle x^{\prime}|\alpha\rangle^{*}\langle x^{\prime}|\beta\rangle}.\]
Como a integral deve convergir devemos impor que a fun\c{c}\~{a}o de onda sejam de {\it quadrado integr\'{a}vel},
\[\int_{-\infty}^{+\infty}{dx^{\prime}|f_{\alpha}(x^{\prime})|^{2}}<\infty.\]
Note que as fun\c{c}\~{o}es de quadrado integr\'{a}vel satisfazem as propriedades exigidas de um espa\c{c}o vetorial.\\

\begin{itemize}
\item \uline{{\bf Operadores}}
\end{itemize}
No espa\c{c}o das fun\c{c}\~{o}es de onda os operadores se comportam como transforma\c{c}\~{o}es lineares quem levam uma fun\c{c}\~{a}o definida em $L_{2}(-\infty,+\infty)$ em outra fun\c{c}\~{a}o definida em $L_{2}(-\infty,+\infty)$. Exemplos s\~{a}o o operador posi\c{c}\~{a}o e o operador momento.\\
a) Operador posi\c{c}\~{a}o: Se
\[|\beta\rangle=\hat{x}|\alpha\rangle\]
ent\~{a}o
\[f_{\beta}(x)=xf_{\alpha}(x).\]
b) Operador momento: Se
\[|\beta\rangle=\hat{p}|\alpha\rangle\]
ent\~{a}o
\[f_{\beta}(x)=-i\hbar \frac{df_{\alpha}}{dx}(x).\]

\begin{itemize}
\item \uline{{\bf Representa\c{c}\~{a}o de operadores}}
\end{itemize}
a) Caso discreto:
\[|\beta\rangle=\hat{T}|\alpha\rangle\]
Seja
\[|\alpha\rangle=\sum_{i}{a_{i}|a_{i}\rangle}=\sum_{i}{|a_{i}\rangle\langle a_{i}|\alpha\rangle}\]
\[|\beta\rangle=\sum_{i}{b_{i}|a_{i}\rangle}=\sum_{i}{|a_{i}\rangle\langle a_{i}|\beta\rangle}.\]
Ent\~{a}o, como
\[\hat{T}|a_{i}\rangle=\sum_{j}{|a_{j}\rangle T_{ji}}=\sum_{j}{|a_{j}\rangle \langle a_{j}|\hat{T}|a_{i}\rangle}\]
\'{e} imediato que
\[b_{i}=\sum_{j}{T_{ij}a_{j}}.\]
b) Caso cont\'{i}nuo:
\[|\beta\rangle=\hat{T}|\alpha\rangle\]
Seja
\[|\alpha\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{dx^{\prime}|x^{\prime}\rangle f_{\alpha}(x^{\prime})}\]
\[|\beta\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{dx^{\prime}|x^{\prime}\rangle f_{\beta}(x^{\prime})}\]
de modo que
\begin{eqnarray*}
\hat{T}|\alpha\rangle&=&\int_{-\infty}^{+\infty}{dx^{\prime}\hat{T}|x^{\prime}\rangle f_{\alpha}(x^{\prime})}\\
&=&\int_{-\infty}^{+\infty}{\int_{-\infty}^{+\infty}{dx^{\prime}dx^{\prime\prime}|x^{\prime\prime}\rangle\langle x^{\prime\prime}|\hat{T}|x^{\prime}\rangle f_{\alpha}(x^{\prime})}}.
\end{eqnarray*}
Assim
\[\langle x|\hat{T}|\alpha\rangle=f_{\beta}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{dx^{\prime}\langle x|\hat{T}|x^{\prime}\rangle f_{\alpha}(x^{\prime})}\]
e portanto
\[f_{\beta}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{dx^{\prime}\langle x|\hat{T}|x^{\prime}\rangle f_{\alpha}(x^{\prime})}.\]
$f_{\alpha}(x^{\prime})$: representa\c{c}\~{a}o do estado $|\alpha\rangle$ no espa\c{c}o das posi\c{c}\~{o}es.\\
$\langle x|\hat{T}|x^{\prime}\rangle$: representa\c{c}\~{a}o do operador $\hat{T}$ no espa\c{c}o das posi\c{c}\~{o}es.\\

{\it {\bf Exemplos:}}\\
a) Operador posi\c{c}\~{a}o: Se
\[|\beta\rangle=\hat{x}|\alpha\rangle\]
ent\~{a}o
\[f_{\beta}(x^{\prime})=x^{\prime}f_{\alpha}(x^{\prime}).\]
Comparando com $f_{\beta}(x^{\prime})=\int{dx^{\prime\prime}\langle x^{\prime}|\hat{x}|x^{\prime\prime}\rangle f_{\alpha}(x^{\prime\prime})}$ conclu\'{i}mos que
\[\langle x^{\prime}|\hat{x}|x^{\prime\prime}\rangle=x^{\prime}\delta(x^{\prime}-x^{\prime\prime}).\]
b) Operador momento: Se
\[|\beta\rangle=\hat{p}|\alpha\rangle\]
ent\~{a}o
\[f_{\beta}(x^{\prime})=-i\hbar \frac{df_{\alpha}}{dx^{\prime}}(x^{\prime}).\]
Mas como $f_{\beta}(x^{\prime})=\int{dx^{\prime\prime}\langle x^{\prime}|\hat{p}|x^{\prime\prime}\rangle f_{\alpha}(x^{\prime\prime})}$ conclu\'{i}mos que
\[\langle x^{\prime}|\hat{p}|x^{\prime\prime}\rangle=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\delta(x^{\prime}-x^{\prime\prime}).\]

\begin{itemize}
\item \uline{{\bf Medida da posi\c{c}\~{a}o}}
\end{itemize}
Quando medimos a posi\c{c}\~{a}o da part\'{i}cula, o detector localiza a part\'{i}cula num intervalo $\Delta$ em torno de um ponto $x$. Sendo mais espec\'{i}fico, quando fazemos a medida de posi\c{c}\~{a}o o estado muda abruptamente para um estado localizado na vizinhança do ponto $x$:
	\[f_{\alpha_{_{L}}}(x^{\prime\prime})=\begin{cases}
\frac{f_{\alpha}(x^{\prime\prime})}{\left|\int_{x^{\prime}-\frac{\Delta}{2}}^{x^{\prime}+\frac{\Delta}{2}}{|f_{\alpha}(x^{\prime\prime})|^{2}dx^{\prime\prime}}\right|^{\frac{1}{2}}}, & \qquad\textrm{se }x^{\prime}-\frac{\Delta}{2}<x^{\prime\prime}<x^{\prime}+\frac{\Delta}{2}\\
0, & \qquad\textrm{nos outros casos.}\end{cases}\]

\uline {Interpreta\c{c}\~{a}o}: A probabilidade de achar a part\'{i}cula no intervalo $x^{\prime}-\frac{\Delta}{2}<x^{\prime\prime}<x^{\prime}+\frac{\Delta}{2}$ \'{e}
\[p(x^{\prime}-\frac{\Delta}{2}<x^{\prime\prime}<x^{\prime}+\frac{\Delta}{2})=\int_{x^{\prime}-\frac{\Delta}{2}}^{x^{\prime}+\frac{\Delta}{2}}{|f_{\alpha}(x^{\prime\prime})|^{2}dx^{\prime\prime}}=|\langle\alpha_{L}|\alpha\rangle|^{2}\]
pois, como
\[|\alpha_{L}\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{|x^{\prime\prime}\rangle f_{\alpha_{L}}(x^{\prime\prime})dx^{\prime\prime}}\]
\[\langle\alpha|\alpha_{L}\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{f_{\alpha}^{*}(x^{\prime\prime})f_{\alpha_{L}}(x^{\prime\prime})dx^{\prime\prime}}=\int_{x^{\prime}-\frac{\Delta}{2}}^{x^{\prime}+\frac{\Delta}{2}}{|f_{\alpha}(x^{\prime\prime})|^{2}\frac{1}{\left|\int_{x^{\prime}-\frac{\Delta}{2}}^{x^{\prime}+\frac{\Delta}{2}}{|f_{\alpha}(x^{\prime\prime})|^{2}dx^{\prime\prime}}\right|^{\frac{1}{2}}}dx^{\prime\prime}}.\]

Vemos que a medida da posi\c{c}\~{a}o corta uma fatia da fun\c{c}\~{a}o de onda do sistema antes da medida.

%\begin{figure}[H]
%\begin{centering}
%\includegraphics[scale=0.6]{\string"C:/Documents and Settings/Eduardo Toshio/Desktop/Observaveis com espectro continuo/figura1_Notas3\string".png}
%\par\end{centering}
%\caption{}
%\end{figure}

Quando $\Delta$ tende a zero a probabilidade de encontrarmos a part\'{i}cula no intervalo $\left(x^{\prime}-\frac{\Delta}{2},x^{\prime}+\frac{\Delta}{2}\right)$ varia lentamente com $\Delta$, onde o coeficiente \'{e} a densidade de probabilidade de acharmos a part\'{i}cula no ponto $x^{\prime}$. Como

\[p(x^{\prime}-\frac{\Delta}{2}<x^{\prime\prime}<x^{\prime}+\frac{\Delta}{2})=\int_{x^{\prime}-\frac{\Delta}{2}}^{x^{\prime}+\frac{\Delta}{2}}{|f_{\alpha}(x^{\prime\prime})|^{2}dx^{\prime\prime}}\]
temos que

\[\lim_{\Delta \to 0}p(x^{\prime}-\frac{\Delta}{2}<x^{\prime\prime}<x^{\prime}+\frac{\Delta}{2})=\frac{dp}{d\Delta}(\Delta=0)\Delta\]
\[\frac{dp}{d\Delta}=|f_{\alpha}(x)|^{2}\Delta\]
mostrando que $|f_{\alpha}(x)|^{2}$ \'{e} a densidade de probabilidade de encontrar a part\'{i}cula no ponto $x$.

\subsection{Operador momento, $\hat{p}$}
\begin{enumerate}
\item {\bf Autovetores do operador momento}
\[\hat{p}|p^{\prime}\rangle=p^{\prime}|p^{\prime}\rangle.\]
Em termos da fun\c{c}\~{a}o de onda
\[\langle x^{\prime}|\hat{p}|p^{\prime}\rangle=p^{\prime}\langle x^{\prime}|p^{\prime}\rangle\]
\[\frac{d}{dx^{\prime}}\langle x^{\prime}|p^{\prime}\rangle=\frac{ip^{\prime}}{\hbar}\langle x^{\prime}|p^{\prime}\rangle\]
\[f_{p^{\prime}}(x^{\prime})=\langle x^{\prime}|p^{\prime}\rangle=Ce^{\frac{i}{\hbar}p^{\prime}x^{\prime}}.\]

Normaliza\c{c}\~{a}o:
\[\langle p^{\prime\prime}|p^{\prime}\rangle=\delta(p^{\prime\prime}-p^{\prime})\]
Veja que
\[\langle p^{\prime\prime}|p^{\prime}\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{f_{p^{\prime\prime}}^{*}(x^{\prime})f_{p^{\prime}}(x^{\prime})dx^{\prime}}=|C|^{2}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-\frac{i}{\hbar}(p^{\prime\prime}-p^{\prime})x^{\prime}}dx^{\prime}}.\]
Como $\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-ikx}dx}=2\pi\delta(k)$ vemos que
\[\langle p^{\prime\prime}|p^{\prime}\rangle=|C|^{2}2\pi\delta\left(\frac{p^{\prime\prime}-p^{\prime}}{\hbar}\right)=|C|^{2}2\pi\hbar\delta\left(p^{\prime\prime}-p^{\prime}\right).\]
Com isto determinamos $C$,
\[C=\sqrt{\frac{1}{2\pi\hbar}}\]
e portanto
\[\langle x^{\prime}|p^{\prime}\rangle=f_{p^{\prime}}(x^{\prime})=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}p^{\prime}x^{\prime}}.\]
\begin{itemize}
\item {\bf Fun\c{c}\~{a}o de onda no espa\c{c}o dos momentos}
\end{itemize}
\[|\alpha\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}{dp^{\prime}|p^{\prime}\rangle\langle p^{\prime}|\alpha\rangle}\]
onde $\langle p^{\prime}|\alpha\rangle=f_{\alpha}(p^{\prime})$ \'{e} a fun\c{c}\~{a}o de onda no espa\c{c}o dos momentos.

$\rho(p,\alpha)=|f_{\alpha}(x)|^{2}$ \'{e} a densidade de probabilidade de numa medida do momento acharmos o valor $p$.
\begin{itemize}
\item {\bf Rela\c{c}\~{a}o entre as fun\c{c}\~{o}es de onda}
\end{itemize}
Temos
\[|\alpha\rangle=\int{dx^{\prime}|x^{\prime}\rangle\langle x^{\prime}|\alpha\rangle}\]
\[|\alpha\rangle=\int{dp^{\prime}|p^{\prime}\rangle\langle p^{\prime}|\alpha\rangle}\]
com
\[f_{\alpha}(x^{\prime})=\langle x^{\prime}|\alpha\rangle,\ \ \ f_{\alpha}(p^{\prime})=\langle p^{\prime}|\alpha\rangle.\]

Das rela\c{c}\~{o}es acima podemos mostrar que
\[f_{\alpha}(x^{\prime})=\int{dp^{\prime}\langle x^{\prime}|p^{\prime}\rangle f_{\alpha}(p^{\prime})}\]
e
\[f_{\alpha}(p^{\prime})=\int{dx^{\prime}\langle p^{\prime}|x^{\prime}\rangle f_{\alpha}(x^{\prime})}.\]

A fun\c{c}\~{a}o que transforma as fun\c{c}\~{o}es de onda do estado $|\alpha\rangle$ no espa\c{c}o das posi\c{c}\~{o}es e no espa\c{c}o dos momentos \'{e} a fun\c{c}\~{a}o de onda dos autovetores do operador momento
\[f_{\alpha}(x^{\prime})=\int{\frac{dp^{\prime}}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}p^{\prime}x^{\prime}} f_{\alpha}(p^{\prime})}\]
e
\[f_{\alpha}(p^{\prime})=\int{\frac{dx^{\prime}}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-\frac{i}{\hbar}p^{\prime}x^{\prime}} f_{\alpha}(x^{\prime})}.\]

Note que as fun\c{c}\~{o}es de onda est\~{a}o relacionadas por uma transforma\c{c}\~{a}o de Fourier.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
{\bf Exerc\'{i}cio 1:} {\it Pacote de incerteza m\'{i}nima.}

No princ\'{i}pio da incerteza de Heisenberg os operadores incompat\'{i}veis s\~{a}o os operadores posi\c{c}\~{a}o e momento, $\hat{x}$ e $\hat{p}$. Como $[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$, o princ\'{i}pio da incerteza de Heisenberg \'{e} dado por:
\[\sigma_{x}^{2}\sigma_{p}^{2}\geq \frac{\hbar^{2}}{4}.\]
Identificando $\hat{A}=\hat{p}$ e $\hat{B}=\hat{x}$, o estado de incerteza m\'{i}nima \'{e} determinado pela equa\c{c}\~{a}o:
\[(\hat{p}-\langle\hat{p}\rangle)|\psi\rangle=-\lambda(\hat{x}-\langle\hat{x}\rangle)|\psi\rangle\]
onde $\lambda$ \'{e} um imagin\'{a}rio puro igual \`{a}
\[\lambda=-\frac{i\hbar}{2\sigma_{x}^{2}}.\]
Resolvendo a equa\c{c}\~{a}o para a fun\c{c}\~{a}o de onda do estado de incerteza m\'{i}nima, $|\psi\rangle$, chegamos na equa\c{c}\~{a}o
\[-i\hbar\frac{\partial \psi_{\alpha}}{\partial x}(x)=\langle\hat{p}\rangle\psi_{\alpha}(x)+\frac{i\hbar}{2\sigma_{x}^{2}}(x-\langle\hat{x}\rangle)\psi_{\alpha}(x)\]
ou
\[\frac{\partial \psi_{\alpha}}{\partial x}(x)=\frac{i}{\hbar}\langle\hat{p}\rangle\psi_{\alpha}(x)-\frac{(x-\langle\hat{x}\rangle)}{2\sigma_{x}^{2}}\psi_{\alpha}(x)\]
\[\frac{\partial}{\partial x}\textrm{Ln}\psi_{\alpha}(x)=\frac{i}{\hbar}\langle\hat{p}\rangle-\frac{(x-\langle\hat{x}\rangle)}{2\sigma_{x}^{2}}\]
Obtemos
\[\psi_{\alpha}(x)=Ce^{-\frac{(x-\langle\hat{x}\rangle)^{2}}{4\sigma_{x}^{2}}}e^{\frac{i}{\hbar}\langle\hat{p}\rangle x}.\]
A condi\c{c}\~{a}o de normaliza\c{c}\~{a}o determina o valor de $C$,
\[C=\frac{1}{(2\pi\sigma_{x}^{2})^{\frac{1}{4}}}.\]
Desse modo conclu\'{i}mos que o estado de incerteza m\'{i}nima \'{e} o {\it pacote gaussiano}
\[\psi_{\alpha}(x)=\frac{1}{(2\pi\sigma_{x}^{2})^{\frac{1}{4}}}e^{-\frac{(x-\langle\hat{x}\rangle)^{2}}{4\sigma_{x}^{2}}}e^{\frac{i}{\hbar}\langle\hat{p}\rangle x}.\]
\vspace{1cm}
{\bf Exerc\'{i}cio 2:} {\it Mostre que o operador de transla\c{c}\~{a}o do sistema \'{e}}
\[\hat{T}(a)=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{p}a}.\]
Sejam dois vetores de estado relacionados por uma transla\c{c}\~{a}o. Nesse caso as fun\c{c}\~{o}es de onda do estado transladado e do estado original devem estar relacionados:
\[|\beta\rangle=\hat{T}(a)|\alpha\rangle\]
\[f_{\beta}(x)=f_{\alpha}(x-a)\]
onde $a$ \'{e} a magnitude da transla\c{c}\~{a}o.\\
A fun\c{c}\~{a}o de onda no espa\c{c}o dos momentos do estado transladado \'{e} igual a
\[f_{\hat{T}\alpha}(p^{\prime})=\langle p^{\prime}|\hat{T}(a)|\alpha\rangle=\langle\alpha|\hat{T}^{\dagger}(a)|p^{\prime}\rangle^{*}.\]
Como
\[\hat{T}^{\dagger}(a)|p^{\prime}\rangle=e^{\frac{i}{\hbar}p^{\prime}a}|p^{\prime}\rangle\]
segue que
\[f_{\hat{T}\alpha}(p^{\prime})=e^{-\frac{i}{\hbar}p^{\prime}a}\langle p^{\prime}|\alpha\rangle=f_{\alpha}(p^{\prime})e^{-\frac{i}{\hbar}p^{\prime}a}.\]
Sabemos que as fun\c{c}\~{o}es de onda no espa\c{c}o das posi\c{c}\~{o}es e no espa\c{c}o dos momentos est\~{a}o relacionados por uma transforma\c{c}\~{a}o de Fourier
\begin{eqnarray*}
f_{\hat{T}\alpha}(x^{\prime})&=& \int{\frac{dp^{\prime}}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}p^{\prime}x^{\prime}}f_{\hat{T}\alpha}(p^{\prime})}\\
&=&\int{\frac{dp^{\prime}}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}p^{\prime}(x^{\prime}-a)}f_{\alpha}(p^{\prime})}\\
&=&f_{\alpha}(x^{\prime}-a).
\end{eqnarray*}
 c.q.d.
\end{document}

