Física-Matemática II

Para a bibliografia e o índice remissivo dos diversos capítulos das Notas de Aula, clique aqui.

• Aula de 16/08. Vídeo: clique aqui.
  • Capítulo 12. Equações Diferenciais Ordinárias. Definição.

  • Seção 12.1.1. Equações lineares, homogêneas e não homogêneas. O princípio de sobreposição.

  • Seção 12.1.2. Exemplos de interesse de equações diferencias de segunda ordem. O princípio de sobreposição.

  
  
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  • Seção 12.2. Sistemas de equações diferenciais ordinárias.

  • Seção 12.2. Sistemas de primeira ordem.

  • Seção 12.2. Notação matricial para sistemas lineares de primeira ordem.

  • Seção 12.2. Equivalência entre equações de ordem n e sistemas de n equações de primeira ordem.

  • Seção 12.3. Problemas de valor inicial (PVI).

  • Seção 12.3.1. PVIs: patologias e exemplos a se ter em mente.

  
  
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  • Seção 12.3.1. PVIs: patologias e exemplos a se ter em mente. Continuação

  • Seção 12.3.2. PVIs: teoremas sobre existência e unicidade de soluções. O Teorema de Peano. O Teorema de Picard-Lindelöf. Discussão de exemplos.

  
  
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  • Capítulo 14. Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares.
    • Seção 14.2.2. A Série de Dyson.

    • Seção 14.2.3. Propriedades da Série de Dyson.

    • Seção 14.3. Equações com Coeficientes Constantes. Exponenciação de Matrizes.

  
  
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  • Capítulo 14. Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias Lineares.
    • Seção 14.2.2. A convergência da série de Dyson.

  • Seção 11.2 . Exponenciação de matrizes.

  • Seção 11.2. Exponenciação de matrizes. Comutatividade.

  • Leitura complementar: Seção 10.7: O Teorema de Decomposição de Jordan. Especialmente o Teorema 10.22.

  
  
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  • Seção 10.2. Noções Básicas sobre o espectro de uma matriz. Polinômio característico de uma matriz. Autovalores de uma matriz. Autovetores.

  • Seção 10.4. Matrizes diagonalizáveis.

  • Seção 14.3.1. Alguns exemplos de aplicações: o oscilador harmônico.

  
  
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  • Seção 10.4. Matrizes diagonalizáveis e o Teorema Espectral. Demonstração do Teorema Espectral para matrizes.
    • Para aplicações do Teorema Espectral ao problema do oscilador harmônico, vide Seção 14.3.1.

  
  
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  • Seção 14.6. Sistemas de Equações Lineares no Plano Complexo.
    • Seção 14.6.2. Soluções por Séries de Potências.

  • Seção 15.1. Soluções em Séries de Potência para Equações Regulares.
    • Seção 15.1.1. A Equação do Oscilador Harmônico Simples.

    • Seção 15.1.2. A Equação de Legendre.

    • Seção 15.1.6. Equações Regulares Gerais. Teorema 15.1.

  
  
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  • Seção 15.1.6. Equações Regulares Gerais. Teorema 15.1. Continuação.

  • Seção 15.1.2. A Equação de Legendre. Polinômios de Legendre.

  
  
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  • Seção 15.3.1. A Equação de Legendre Associada.

  • Seção 18.3. O Método de Separação de Variáveis.

  • Seção 42.2.2. A Equação de Laplace em três Dimensões em Coordenadas Esféricas.

  
  
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  • Seção 42.2.1. Problemas em Duas Dimensões em Coordenadas Polares. A Equação de Helmholtz em coordenadas polares.

  • Seção 15.2. Soluções de Equações Singulares Regulares. O Método de Frobenius. Teorema 15.2.
    • Seção 15.2.1. Soluções de Equações Singulares Regulares. Continuação.

    • Seção 15.2.2. A Equação de Euler Revisitada.

    • Seção 15.2.3. A Equação de Bessel e suas soluções.
      • Leitura adicional sugerida: Origens das funções de Bessel.

  
  
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  • Capítulo 7. A Função Gama de Euler.

  • Seção 15.2.3. A Equação de Bessel e suas soluções: continuação. Funções de Bessel de primeiro tipo.

  
  
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  • Seção 15.2.3. A Equação de Bessel e suas soluções: continuação. Funções de Bessel de primeiro tipo.

  • Seção 42.6. O problema da membrana circular e homogênea.

  • Seção 42.2.2. As equações de Laplace e de Helmholtz em três dimensões em coordenadas esféricas.

  • Seção 15.2.4. A Equação de Bessel Esférica e suas soluções, as funções de Bessel e de Neumann esféricas.

  
  
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  • Seção 16.2.7. Algumas propriedades de funções de Bessel.
    • Seção 16.2.7. Relações de recorrência das funções de Bessel.

    • Seção 16.2.7. A função geratriz das funções de Bessel. Para a noção geral de "função geratriz", vide Capítulo 6.

    • Seção 16.2.7. A fórmula de adição das funções de Bessel.

    • Seção 16.2.7. Representações integrais das funções de Bessel.

  • Seção 16.2.7.1. Zeros das funções de Bessel.

  • Seção 16.2.7.2. Relações de ortogonalidade das funções de Bessel.

  
  
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  • Seção 42.6. O problema da membrana circular e homogênea. Solução completa.

  • Seção 42.5.2. O problema da corda homogênea pendurada. Solução completa.

  • Animações das soluções:
    • Membrana circular. Autoria: Saulo Henrique Pereira.

    • Corda pendurada. Autoria: Daniel Augusto Cortez.

  
  
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  • Seção 42.2.2. As equações de Laplace e de Helmholtz em três dimensões em coordenadas esféricas.
    • Seção 16.2.8. Propriedades das funções de Bessel Esféricas.

    • Seção 16.2.1. Propriedades dos Polinômios de Legendre.

    • Seção 16.2.2. Propriedades dos Polinômios de Legendre Associados.
      • Seção 16.2.2.1. As Funções Harmônicas Esféricas.

  
  
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  • Capítulo 24. Espaços Métricos.

  
  
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  • Capítulo 24. Espaços Métricos. Até sequências de Cauchy (inclusive).

  
  
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  • Capítulo 24. Completeza de Espaços Métricos.

  
  
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  • Capítulo 25. O Teorema do Ponto Fixo de Banach.

  
  
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  • Capítulo 25. O Teorema do Ponto Fixo de Banach.
    • Seção 25.2.2. Aplicações a Sistemas Lineares. O Método de Jacobi.

    • Seção 25.2.3. Aplicações às Equações Integrais de Fredholm e Volterra.

  
  
• Aula de 10/11. Vídeo: clique aqui.
  • Capítulo 25. O Teorema do Ponto Fixo de Banach.
    • Seção 25.2.4.1. O Teorema de Picard-Lindelöf: existência e unicidade de solução de problemas de valor inicial.

  • Capítulo 24. Espaços Métricos.
    • Seção 24.1.1. Conjuntos densos em espaços métricos.

    • Seção 24.1.1. Espaços métricos e o completamento canônico.

  
  
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  • Capítulo 24. Espaços Métricos.
    • Seção 24.1.1. Espaços métricos e o completamento canônico.

    • Seção 24.A.1. A construção de Cantor dos números reais.

    • Seção 24.A.2. A construção de Cantor dos números p-ádicos.
      • Leitura complementar: Seção 8.1. O Teorema Fundamental da Aritmética. A infinitude dos números primos. Vide também Apêndice 8.A para uma demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética.

  
  
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  • Seção 24.2. Noções de Topologia em Espaços Métricos.

  
  
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  • Normas e Produtos Escalares em Espaços Vetoriais.

  • Seção 24.5. Definições das Noções de Espaços de Banach e de Hilbert.

  • Leitura Complementar: Teorema 3.3, Teorema de Fréchet, von Neumann e Jordan. A demonstração encontra-se aqui.

  
  
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  • Seção 24.5. Espaços de Banach e de Hilbert em Espaços de Sequências.

    Temas:

    • Os conjuntos de sequências ℓ_p(ℕ), p≥1. Definição.
      Os conjuntos ℓ_p(ℕ) são espaços lineares.
      Os espaços ℓ_p(ℕ) são espaços normados. Desigualdade de Minkowski.
      Os espaços ℓ_p(ℕ) são completos (Teorema de Riesz-Fischer).
      Os espaços ℓ₂(ℕ) são espaços de Hilbert.

  
  
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  • Espaços de Hilbert.
  
  
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  • Capítulo 38. Noções Básicas sobre Espaços de Hilbert. Seções 38.1 e 38.2.
  • Capítulo 19. O Problema de Sturm-Liouville.
  
  
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  • Capítulo 19. O Problema de Sturm-Liouville.
  • Seção 19.2. O Problema de Sturm e sua solução via Funções de Green.
  
  
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  • Capítulo 19. O Problema de Sturm-Liouville. A função de Green do Problema de Sturm. A simplicidade dos autovalores. O Lema de Green. Ortogonalidade das autofunções. A Equação Integral de Fredholm e suas consequências.
  
  
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  • Capítulo 19. O Problema de Sturm-Liouville. Revisão geral.

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