Notação e preliminares

Um vetor será sempre representado por suas componentes cartesianas. O vetor $\vec{V}$, de componentes $V_i$, será apresentado assim:``o vetor $V_i$'', sem maiores comentários. As seguintes relações são óbvias:

$$(\vec{V}+\vec{W})_i = V_i + W_i$$ (1)

$$(\alpha\vec{V})_i = \alpha V_i$$ (2)

onde $\alpha$ é um número. Note que o índice $i$ pode assumir os valores 1,2 e 3. Todos os índices que aparecerão aqui assumirão esses valores.

O produto escalar de dois vetores $\vec{V}$ e $\vec{W}$, denotado por $\vec{V}.\vec{W}$ é escrito

$$\vec{V}.\vec{W}=\sum_{i=1}^{3}V_i W_i$$ (3)

No entanto, o símbolo de soma, $\sum$, é redundante. Vamos eliminá-lo, escrevendo o produto escalar assim:

$$\vec{V}.\vec{W}=V_iW_i$$ (4)

A regra é que, quando os índices são repetidos (como o $i$ nessa expressão) é sempre feita uma soma para o índice indo de 1 até 3.

Exemplos:
(1)

$$\sum_{i=1}^{3}V_i V_i\equiv V_iV_i=V_{1}V_{1}+V_{2}V_{2}+V_{3}V_{3}=V_{x}^2+V_{y}^2+V_{z}^2=\vert\vec{V}\vert^2$$ (5)

(2)

$$\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}V_iW_iU_jM_j=V_iW_iU_jM_j=(V_{1}W_{1}+V_{2}W_{2}+V_{3}W_{3}) (U_{1}M_{1}+U_{2}M_{2}+U_{3}M_{3})$$ (6)

$$= (\vec{V}.\vec{W})(\vec{U}.\vec{M})$$ (7)

(3) O símbolo $\delta_{ij}$, denominado delta de Kronecker é definido assim: $\delta_{11}=\delta_{22}=\delta_{33}=1$. Para todas as outras possibilidades, $\delta_{ij}=0$. Assim, $\delta_{12}=0$. Considere a soma

$$\delta_{ij}V_{j}=\delta_{i1}V_{1}+\delta_{i2}V_{2}+\delta_{i3}V_{3}$$ (8)

Para $i=1$, o único termo que não se anula é $\delta_{11}V_{1}=V_{1}$. Mas o número 1 não tem nada de especial, logo, devemos ter que

$$\delta_{ij}V_{j}=V_{i}$$ (9)

Note que

$$\delta_{ii}=\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}=1+1+1=3$$ (10)

pois o índice $i$, repetido, indica a soma.