Apêndice

Seja $V^i$ um campo vetorial, dado por suas componentes em um espaço tridimensional. É dado que o fluxo de $\vec{V}$ em uma superfície fechada arbitrária é zero. Daí não decorre a nulidade de $\vec{V}$. De fato, basta que $\vec{V}=rot\; \vec{W}$, onde $\vec{W}$ é um campo vetorial arbitrário, para que a condição seja satisfeita. O resultado análogo em 4 dimensões é importante para a nossa demonstração. Seja $A^i$ um campo vetorial em um espaço 4-dimensional, tal que

$$\int d\sigma_l A^l=0$$ (38)

em qualquer superfície fechada, de elemento de área $d\sigma_l$. Daí não se pode concluir que $A^l$ seja zero. De fato, basta que se tenha

$$A^l = \partial_m B^{ml}$$ (39)

com

$$B^{lm}=-B^{ml}$$ (40)

pois

$$\int d\sigma_l \partial_m B^{lm}=\int d^4x \partial_m \partial_l B^{lm}$$ (41)

e a segunda integral é zero por simetria. Este é o resultado que citamos na nota de rodapé ao final da primeira seção.