Introdução

Estas notas destinam-se a introduzir, para estudantes de física, o método dos multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de máximos e mínimos ``relativos'', isto é, com condições suplementares. Por exemplo, o problema clássico de construir uma caixa de papelão com a forma de paralelepípedo que tenha máximo volume para uma área de papelão dada, pode ser formulado assim: determinar o máximo da função $xyz$ (volume do paralelepípedo de arestas $x$, $y$, $z$) com a condição de que $xy+xz+yz=K$ (a área total das faces é fixa, e igual a $2K$). Esta condição é denominada vínculo, ou condição subsidiária.

A solução que ocorre imediatamente é: usar a condição de área fixa para eliminar, digamos, $z$, em função de $x$ e $y$. O volume passa extão a ser uma função só de $x$ e $y$, à qual se aplicam os métodos usuais. O problema se complica, e este método se torna inaplicável, quando as condições subsidiárias são muitas ou muito complicadas. Lagrange ¹ inventou uma maneira genial de simplificar o problema: o método dos multiplicadores de Lagrange.

Quais são os ``métodos usuais'' que mencionamos acima? Consistem em procurar os ``pontos críticos'', ou seja, os pontos em que todas as derivadas parciais da função a maximizar se anulam. Um teorema clássico diz que os pontos em que a função pode ter máximos ou mínimos estão entre esses pontos críticos. Para determinar se, efetivamente, um ponto crítico é ponto de máximo, de mínimo ou nem um nem outro, é preciso examinar as derivadas parciais de ordem mais alta. Não tocaremos neste assunto aqui, limitando-nos a dar boas referências. Os livros de Courant [1], Apostol [2] e Elon Lages Lima [3] são referências de boa qualidade e leitura interessante. Se o leitor tiver acesso, recomendamos especialmente a grande obra clássica de Camille Jordan [4], na qual baseamos o nosso tratamento ².