Conceitos básicos

1.1 Def. O espaço euclideano $\mathbb{R}^3$ é o conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais. A tripla $\vec{p}=(p_1,p_2,p_3)$ é denominada um ponto de $\mathbb{R}^3$
$\mathbb{R}^3$ é um espaço vetorial sobre os reais de maneira natural: se $p=(p_1,p_2,p_3)$ e $q=(q_1,q_2,q_3)$ são pontos de $\mathbb{R}^3$, sua soma é o ponto

$$p+q=(p_1+q_1,p_2+q_2,p_3+q_3)$$

O múltiplo escalar de um ponto $p=(p_1,p_2,p_3)$ por um número $a$ é o ponto

$$ap=(ap_1,ap_2,ap_3) \; .$$

Verifica-se facilmente que essas duas operações satisfazem os axiomas de espaço vetorial. O ponto $0=(0,0,0)$ é denominado origem de $\mathbb{R}^3$
1.2 Def. Sejam $x,y,z$ as funções de $\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ tais que, para cada ponto $p=(p_1,p_2,p_3)$,

$$x(p)=p_1 \;\;\; y(p)=p_2\;\;\; z(p)=p_3\;.$$

Essas funções$x,y,z$ chamam-se funções coordenadas naturais de $\mathbb{R}^3$. Também se usa a notação $x_1,x_2,x_3$.
Vale, então, a identidade

$$p=(x_1(p), x_2(p), x_3(p))$$

1.3 Def. Uma função real $f$ sobre $\mathbb{R}^3$ ( $f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$) é diferenciável (ou de classe $C^{\infty}$) se todas as derivadas pardiais de $f$, de todas as ordens, existirem e forem contínuas. Se $f$ e $g$ são funções reais diferenciáveis, $f+g$ e $fg$ são também diferenciáveis.
Comentário A diferenciação é uma operação local: para calcular $\frac{\partial f}{\partial x}$ em $p \in \mathbb{R}^3$ basta saber os valores de $f$ para todos os $q \in \mathbb{R}^3$ suficientemente próximos de $p$. Por isso a definição acima é excessivamente restritiva. O domínio de $f$ pode ser um aberto que contenha $p$ (e não necessariamente todo o $\mathbb{R}^3$).