O conceito de variedade

8.1.3 Definição Seja $M$ um espaço topológico. Uma carta ($V,\Phi$) é um homeomorfismo $\phi$ de um aberto $V$ de $M$ sobre um aberto de $\mathbb{R}^m$. Duas cartas $(V_1,\phi_1)$ e $(V_2,\phi_2)$ são compatíveis se $V_1\cap V_2=\phi$ ou, caso contrário, se $\phi_1\circ \phi^{-1}_{2}$ e $\phi_2\circ \phi^{-1}_1$ forem aplicações diferenciáveis entre abertos de $\mathbb{R}^m$


8.1.4 Definição Um atlas é um conjunto de cartas compatíveis que cobre $M$. Dois atlas são compatíveis se todas as suas cartas são compatíveis.


8.1.5 Observações
1. No conjunto dos atlas de $M$, a relação ``$\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$ são compatíveis''é uma relação de equivalência. Então é possível agrupar os atlas em classes: todos os elementos de uma determinada classe são atlas equivalentes. Nenhum atlas de uma classe é equivalente a um atlas de outra classe.
2.A união de todos os atlas de uma dada classe de equivalência é o máximo atlas dessa classe. É denominado o atlas saturado dessa classe. Uma carta compatível com todas as cartas de um atlas $\mathcal{A}$ pertence o atlas saturado da classe de equivalência de $\mathcal{A}$.
3. As cartas mapeiam $M$ em $\mathbb{R}^m$. Diz-se então que $m$ é a dimensão de $M$.


8.1.6 Definição Uma variedade diferenciável $M$ é um espaço topológico separável, metrizável, com uma classe de equivalência de atlas, ou, o que é o mesmo, com um atlas saturado.


8.1.7 Exemplos
1. $M=\mathbb{R}^n$
O atlas é formado por uma única carta $(V, \phi)$ com
$V=M=\mathbb{R}^n$
$\phi:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ é a identidade, $x\mapsto x$.

2.A esfera $S^n$.
Seja $M=S^n$ o subconjunto de $\mathbb{R}^{n+1}$ definido por

$$(x^1)^2+(x^2)^2+...+(x^{n+1})^2=1$$

não é possível, neste caso, construir um atlas com uma única carta, por motivos topológicos: $S^n$ é compacto, e um aberto de $\mathbb{R}^n$ não é compacto. É impossível a existência de um homeomorfismo entre um compacto e um não-compacto. são necessárias ao menos duas cartas, $(V_1,\phi_1)$ e $(v_2,\phi_2)$.
$V_1:\{pontos\;\; de\;\; S^n : x^{n+1}>-1\}$ (esfera sem o pólo Sul.)
$v_2:\{pontos\;\;de\;\;S^n : x^{n+1}<1\}$ (esfera sem o pólo Norte.)